Pengertian Turunan Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai yang dimasukan, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Pada fungsi y = fx, turunan dari variabel y terhadap variabel x dinotasikan dengan atau atau y’ dan didefinisikan sebagai Rumus-rumus Turunan Fungsi Aljabar Dengan definisi turunan akan dicari rumus-rumus turunan fungsi aljabar yang terdiri dari fungsi pangkat , hasil kali fungsi fx = ux . vx, hasil pembagian fungsi , dan pangkat dari fungsi . 1. Rumus turunan fungsi pangkat Fungsi berbentuk pangkat turunannya dapat menggunakan rumus sebagai Jadi rumus turunan fungsi pangkat adalah 2. Rumus turunan hasil kali fungsi Fungsi fx yang terbentuk dari perkalian fungsi ux dan vx, turunannya didapat dengan Jadi rumus turunan fungsinya adalah 3. Rumus turunan fungsi pembagian sehingga Jadi rumus turunan fungsinya adalah 4. Rumus turunan pangkat dari fungsi Ingat jika , maka Karena , maka Atau Jadi rumus turunan fungsinya adalah Rumus-rumus Turunan Trigonometri Dengan menggunakan definisi turunan, dapat diperoleh rumus-rumus turunan trigonometri berikut dengan u dan v masing-masing fungsi dari x Aplikasi Turunan 1. Menentukan gradien garis singgung suatu kurva Gradien garis singgung m pada suatu kurva y = fx dirumuskan sebagai Persamaan garis singgung pada suatu kurva y = fx di titik singgung dirumuskan sebagai 2. Menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun 3. Menentukan nilai stasioner suatu fungsi dan jenisnya Jika fungsi y = fx kontinu dan diferensiabel di x = a dan f'x = 0, maka fungsi memiliki nilai statisioner di x = a. Jenis nilai stasioner dari fungsi y = fx dapat berupa nilai balik minimum, nilai balik maksimum, atau nilai belok. Jenis nilai stasioner ini bisa ditentukan dengan menggunakan turunan kedua dari fungsi tersebut. Jika dan , maka adalah nilai balik maksimum dari fungsi y = fx dan titik adalah titik balik maksimum dari kurva y = fx. Jika dan , maka adalah nilai balik minimum dari fungsi dan titik adalah titik balik minimum dari kurva y = fx. Jika dan , maka adalah nilai belok dari fungsi y = fx dan titik adalah titik belok dari kurva y = fx. 4. Menyelesaikan soal limit berbentuk tak tentu atau Jika merupakan limit berbentuk tak tentu atau , maka penyelesaiannya dapat menggunakan turunan, yaitu fx dan gx masing-masing diturunkan. Jika dengan turunan pertama sudah dihasilkan bentuk tertentu, maka bentuk tertentu itu adalah penyelesaiannya. Tetapi jika dengan turunan pertama masih dihasilkan bentuk tak tentu, maka masing-masing fx dan fx diturunkan lagi sampai diperoleh hasil berbentuk tertentu. Cara penyelesaian seperti ini disebut Dalil L’hopital. 5. Menentukan rumus kecepatan dan percepatan Jika rumus atau persamaan posisi gerak suatu benda sebagai fungsi waktu diketahui yaitu s = ft, maka rumus kecepatan dan kecepatannya dapat ditentukan yaitu Contoh Soal Turunan Fungsi dan Pembahasan Contoh Soal 1 – Turunan Fungsi Aljabar Turunan pertama dari adalah Pembahasan 1 Soal ini merupakan fungsi yang berbentuk y = yang dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus . Maka Sehingga turunannya Contoh Soal 2 – Turunan Fungsi Trigonometri Tentukan turunan pertama dari Pembahasan 2 Untuk menyelesaikan soal ini menggunakan rumus campuran yaitu dan juga . Sehingga Contoh Soal 3 – Aplikasi Turunan Tentukan nilai maksimum dari pada interval -1 ≤ x ≤ 3. Pembahasan 3 Ingat syarat nilai fungsi fx maksimum adalah dan maka dan dan Kontributor Alwin Mulyanto, Alumni Teknik Sipil FT UI Materi lainnya Fungsi Kuadrat Matriks Persamaan Kuadrat
SoalUtbk Trigonometri. November 10, 2020. Pada tutorial sebelumnya kita telah mempelajari tentang turunan fungsi aljabar maka dalam kesempatan ini dilanjutkan dengan turunan trigonometri. Soal soal utbk matematika 2019 yang dibahas adalah soal soal yang dipilih secara random. Limit Fungsi Trigonometri Media Belajar.Turunan fungsi aljabar merupakan salah satu subbab dari kalkulus diferensial. Di sini, kita akan mempelajari tentang aturan-aturan turunan pada fungsi aljabar. Lebih lanjut, aturan turunan tersebut selanjutnya diterapkan untuk menyelesaikan persoalan fungsi trigonometri. Di sesi ini, kita khusus membahas soal mengenai turunan fungsi aljabar. Soal-soal dikumpulkan dari berbagai literatur dengan tingkat kesulitan yang variatif untuk meningkatkan dan menguji pemahaman pembaca. Soal juga dapat diunduh dalam format PDF melalui tautan berikut Download PDF, 280 KB. Aturan Turunan Berikut ini merupakan beberapa aturan turunan dasar yang selanjutnya digunakan untuk menyelesaikan persoalan turunan fungsi aljabar. Aturan turunan fungsi konstan Jika $y = fx = c$ dengan $c \in \mathbb{R}$, maka $f'x = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 0$. Aturan turunan fungsi identitas Jika $y = fx = x$, maka $f'x = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 1.$ Aturan turunan fungsi pangkat Jika $y = fx = x^n$, maka $f'x = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = nx^{n-1}.$ Aturan turunan fungsi berbentuk $y = ax^n$ Jika $y = fx = ax^n$ untuk suatu $a \in \mathbb{R}$, maka $f'x = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = anx^{n-1}.$ Turunan jumlah dan selisih fungsi-fungsi Jika $fx = y = u \pm v$ dengan $u$ dan $v$ keduanya fungsi dari $x$, maka $f'x = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = u’ \pm v’.$ Secara verbal turunan dari jumlah/selisih fungsi-fungsi sama dengan jumlah/selisih dari turunan masing-masing fungsi tersebut. Aturan hasil kali dalam turunan Jika $fx = y = u \cdot v$ dengan $u$ dan $v$ keduanya fungsi dari $x$, maka $f'x = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = u’ \cdot v + u \cdot v’.$ Jika $fx = y = u \cdot v \cdot w$ dengan $u$, $v$, dan $w$ keduanya fungsi dari $x$, maka $$\begin{aligned} f'x & = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \\ & = u \cdot v \cdot w’ + u \cdot v’ \cdot w + u’ \cdot v \cdot w \end{aligned}$$ Aturan hasil bagi dalam turunan Jika $fx = y = \dfrac{u}{v}$ dengan $u$ dan $v$ keduanya fungsi dari $x$, maka $f'x = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{u’ \cdot v-u \cdot v’}{v^2}.$ Baca Juga Soal dan Pembahasan – Konsep, Sifat, dan Aturan dalam Perhitungan Turunan Dasar Quote by Pam Leo You cannot teach children to behave better by making them feel worse. When children feel better, they behave better. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Jika $fx=x^2-\dfrac{1}{x}+1$, maka $f'x= \cdots \cdot$ A. $x-x^{-2}$ B. $x+x^{-2}$ C. $2x+x^{-2}+1$ D. $2x-x^{-2}+1$ E. $2x+x^{-2}$ Pembahasan Gunakan aturan turunan dasar. $\begin{aligned} fx & =x^2-\dfrac{1}{x}+1 \\ & = x^2-x^{-1}+1 \\ f'x & = 2x^{2-1}-1x^{-1-1}+0 \\ & = 2x+x^{-2} \end{aligned}$ Jadi, hasil dari $\boxed{f'x = 2x+x^{-2}}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 2 Jika $gx = \dfrac{1}{x}+x^3-\sqrt{2x}$, maka $g'x = \cdots \cdot$ A. $-\dfrac{1}{x^2}+3x^2-\dfrac{1}{\sqrt{2x}}$ B. $-x^3+3x^2+\dfrac12\sqrt{2x}$ C. $\dfrac{1}{x^2}+x^2-2$ D. $\dfrac{1}{x^2}+3x^2-2$ E. $\dfrac{1}{x^2}+3x^2+\dfrac12\sqrt{2x}$ Pembahasan Gunakan aturan turunan dasar. $$\begin{aligned} gx & = \dfrac{1}{x}+x^3-\sqrt{2x} \\ & = x^{-1}+x^3-\sqrt{2}x^{1/2} \\ g'x & = -1x^{-1-1}+3x^{3-1}-\sqrt{2} \cdot \dfrac12x^{1/2-1} \\ & = -x^{-2}+3x^2-\dfrac12\sqrt2x^{-1/2} \\ & = -\dfrac{1}{x^2}+3x^2-\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt{x}} \\ & = -\dfrac{1}{x^2}+3x^2-\dfrac{1}{\sqrt{2x}} \end{aligned}$$Catatan $\dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{1}{\sqrt2}$ Jadi, hasil dari $\boxed{g'x = -\dfrac{1}{x^2}+3x^2-\dfrac{1}{\sqrt{2x}}}$ Jawaban A [collapse] Baca Juga Pembuktian Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Soal Nomor 3 Jika $Rt = t\sqrt{t} + \dfrac{1}{t\sqrt{t}}$, maka $\dfrac{\text{d}Rt}{\text{d}t}$ sama dengan $\cdots \cdot$ A. $\dfrac32\sqrt{t} + \dfrac{3}{2\sqrt{t}}$ B. $\dfrac32\sqrt{t} -\dfrac{3}{2\sqrt{t}}$ C. $\dfrac32\sqrt{t} -\dfrac{3}{2t^2\sqrt{t}}$ D. $\dfrac23\sqrt{t} -\dfrac{1}{t^2\sqrt{t}}$ E. $\dfrac32\sqrt{t} + \dfrac{1}{t^2\sqrt{t}}$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} Rt & = t\sqrt{t} + \dfrac{1}{t\sqrt{t}} = t \cdot t^{1/2} + \dfrac{1}{t \cdot t^{1/2}} \\ & = t^{3/2} + t^{-3/2} \end{aligned}$ Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh $\begin{aligned} \dfrac{\text{d}Rt}{\text{d}t} & = \dfrac32t^{3/2-1}-\dfrac32t^{-3/2-1} \\ & = \dfrac32t^{1/2}-\dfrac32t^{-5/2} \\\\ & = \dfrac{3}{2}\sqrt{t}-\dfrac{3}{2t^2\sqrt{t}} \end{aligned}$ Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{\text{d}Rt}{\text{d}t} = \dfrac{3}{2}\sqrt{t}-\dfrac{3}{2t^2\sqrt{t}}}$ Jawaban C [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Trigonometri Soal Nomor 4 Turunan pertama dari $fx=\dfrac{4}{x-3}-\dfrac{6}{x}$ adalah $f'x$. Nilai dari $f'1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-5$ C. $4$ E. $10$ B. $2$ D. $5$ Pembahasan Gunakan aturan turunan dasar untuk mencari turunan pertama dari fungsi $fx$. $$\begin{aligned} fx & =\dfrac{4}{x-3}-\dfrac{6}{x} \\ & = 4\underbrace{x-3}_{u}^{-1}-6x^{-1} \\ f'x & = 4-1x-3^{-2} \cdot \underbrace{1}_{u’}-6-1x^{-2} \\ & = -\dfrac{4}{x-3^2}+\dfrac{6}{x^2} \end{aligned}$$Substitusi $x=1$ dan kita akan peroleh $\begin{aligned} f'1 & = -\dfrac{4}{\color{blue}{1}-3^2}+\dfrac{6}{\color{blue}{1}^2} \\ & = -\dfrac{4}{4} + \dfrac{6}{1} \\ & = -1+6 = 5 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{f'1 = 5}$ Jawaban D [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan Diferensial Soal Nomor 5 Turunan pertama dari $Hx = x^{2/3}4x-5$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{20\sqrt[3]{x^2}}{3} + \dfrac{10}{3\sqrt[3]{x}}$ B. $\dfrac{20\sqrt[3]{x^2}}{3} -\dfrac{10}{3\sqrt[3]{x}}$ C. $\dfrac{10\sqrt[3]{x}}{3} -\dfrac{20}{3\sqrt[3]{x}}$ D. $\dfrac{-20\sqrt[3]{x^2}}{3} -\dfrac{10}{3\sqrt[3]{x}}$ E. $\dfrac{4x-5}{3\sqrt[3]{x}} -\dfrac{4}{\sqrt[3]{x}}$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} Hx & = x^{2/3}4x-5 \\ & = 4x^{2/3} \cdot x-5x^{2/3} \\ & = 4x^{5/3}-5x^{2/3}. \end{aligned}$ Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh $\begin{aligned} H'x & = 4 \cdot \dfrac53 \cdot x^{5/3-1}-5 \cdot \dfrac23 \cdot x^{2/3-1} \\ & = \dfrac{20}{3}x^{2/3}-\dfrac{10}{3}x^{-1/3} \\ & = \dfrac{20\sqrt[3]{x^2}}{3} -\dfrac{10}{3\sqrt[3]{x}}. \end{aligned}$ Jadi, turunan pertama dari $Hx$ adalah $\boxed{\dfrac{20\sqrt[3]{x^2}}{3} -\dfrac{10}{3\sqrt[3]{x}}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 6 Diberikan $fr = 2r^{\frac32}-2r^{\frac12}$. Nilai $f'1$ sama dengan $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $2$ E. $5$ B. $1$ D. $4$ Pembahasan Diketahui $fr = 2r^{\frac32}-2r^{\frac12}.$ Dengan menggunakan aturan turunan dasar, turunan pertama fungsi $fr$ adalah $\begin{aligned} f'r & = 2 \cdot \dfrac32r^{\frac32-1}-2 \cdot \dfrac12r^{\frac12-1} \\ & = 3r^{\frac12}-r^{-\frac12} \\ & = 3\sqrt{r}-\dfrac{1}{r}. \end{aligned}$ Untuk $r=1$, didapat $\boxed{f'1= 3\sqrt{1}-\dfrac{1}{1} = 3-1=2}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 7 Diketahui $y = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+2x-6$. Nilai $x$ yang membuat $y’ = 0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-1$ atau $1$ B. $-1$ atau $0$ C. $0$ atau $2$ D. $1$ atau $2$ E. $1$ atau $3$ Pembahasan Diketahui $y = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+2x-6.$ Turunan pertama dari $y$ adalah $\begin{aligned} y’ & = \dfrac133x^2-\dfrac322x+2-0 \\ & = x^2-3x+2. \end{aligned}$ Misalkan $y’ = 0$ sehingga diperoleh $\begin{aligned} x^2-3x+2 & = 0 \\ x-2x-1 & = 0 \\ x = 2~\text{atau}&~x = 1. \end{aligned}$ Jadi, nilai $x$ yang membuat $y’=0$ adalah $1$ atau $2$. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 8 Jika $fm = 4 + \sqrt[4]{m^3} + 3 \sqrt[3]{m^2}$, maka nilai $f'1 = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{11}{4}$ C. $\dfrac74$ E. $\dfrac14$ B. $\dfrac{9}{4}$ D. $\dfrac54$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} fm & = 4 + \sqrt[4]{m^3} + 3 \sqrt[3]{m^2} \\ & = 4 + m^{3/4} + 3m^{2/3}. \end{aligned}$ Turunan pertama dari $fm$ adalah $$\begin{aligned} f'm & = 0 + \dfrac34m^{3/4-1} + \cancel{3} \cdot \dfrac{2}{\cancel{3}}m^{2/3-1} \\ & = \dfrac34m^{-1/4}+2m^{-1/3} \\ & = \dfrac{3}{4\sqrt[4]{m}}+\dfrac{2}{\sqrt[3]{m}}. \end{aligned}$$Untuk $m=1$, diperoleh $f'1 = \dfrac{3}{4\sqrt[4]{1}}+\dfrac{2}{\sqrt[3]{1}} = \dfrac34 + 2 = \dfrac{11}{4}.$ Jadi, nilai dari $\boxed{f'1=\dfrac{11}{4}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 9 Jika turunan pertama dari $y = x^2+1x^3-1$ adalah $y’ = ax^4+bx^2+cx$ dengan $a,b,c \in \mathbb{Z},$ maka nilai dari $abc = \cdots \cdot$ A. $-60$ C. $0$ E. $60$ B. $-30$ D. $30$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} y & = x^2+1x^3-1 \\ & = x^5-x^2+x^3-1. \end{aligned}$ Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh $\begin{aligned} y’ & = 5x^{5-1}-2x^{2-1}+3x^{3-1}-0 \\ & = 5x^4-2x+3x^2 \\ & = 5x^4+3x^2-2x. \end{aligned}$ Karena itu, kita peroleh $a = 5$, $b = 3$, dan $c = -2$. Catatan $\mathbb{Z}$ menyatakan simbol untuk himpunan bilangan bulat. Jadi, $\boxed{abc = 53-2 = -30}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 10 Turunan pertama dari $fx=x^23x-1^3$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x15x+23x-1^2$ B. $x15x-23x-1^2$ C. $x9x+23x-1^2$ D. $x18x+23x-1^2$ E. $x18x-23x-1^2$ Pembahasan Diketahui $fx=x^23x-1^3.$ Gunakan aturan turunan dasar terutama aturan hasil kali dan aturan rantai. Misalkan $$\begin{aligned} u & = x^2 \implies u’ = 2x \\ v & = \underbrace{3x-1}_{p}^3 \implies v’ = 33x-1^2\underbrace{3}_{p’} = 93x-1^2. \end{aligned}$$Dengan aturan hasil kali dalam turunan, kita peroleh $$\begin{aligned} f'x & = u’v+uv’ \\ & = 2x3x-1^3+x^293x-1^2 \\ & = 3x-1^22x3x-1+9x^2 \\ & = 3x-1^26x^2-2x+9x^2 \\ & = 3x-1^215x^2-2x \\ & = x15x-23x-1^2. \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama dari $fx$ adalah $\boxed{x15x-23x-1^2}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 11 Jika $y = x\sqrt{2x^2+3}$, maka $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=\cdots \cdot$ A. $4x^2-32x^2+3^{-1/2}$ B. $4x^2+32x^2+3^{-1/2}$ C. $2x2x^2+32x^2+3^{-1/2}$ D. $x2x+32x^2+3^{-1/2}$ E. $2x^2+3^{1/2}$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} y & = x\sqrt{2x^2+3} \\ & = \sqrt{x^22x^2+3} \\ & = \sqrt{2x^4+3x^2} \\ & = \underbrace{2x^4+3x^2}_{u}^{1/2} \end{aligned}$ Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh turunan pertama $y$, yaitu $$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac122x^4+3x^2^{-1/2} \cdot \underbrace{8x^3+6x}_{u’} \\ & = \dfrac1224x^3+3x2x^4+3x^2^{-1/2} \\ & = 4x^3+3x2x^4+3x^2^{-1/2} \\ & = x4x^2+3 \cdot \dfrac{1}{x}2x^2+3^{-1/2} \\ & = 4x^2+32x^2+3^{-1/2} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=4x^2+32x^2+3^{-1/2}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 12 Jika $fx = \sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}$ dengan $x \neq 1,$ maka $f'x = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{6x-6}{\sqrt{2x-1^3}}$ B. $\dfrac{-3}{2x-1^{3/2}\sqrt{x+2}}$ C. $2x\sqrt{1-x^2}-\dfrac{xx^2+3}{\sqrt{1-x^2}}$ D. $-\dfrac{9}{4\sqrt{3x+2^3}}$ E. $\dfrac{3x^2-4}{2\sqrt{x^3-4x}}$ Pembahasan Diketahui $fx = \sqrt{\underbrace{\dfrac{x+2}{x-1}}_{p}}.$ Pertama, kita akan mencari turunan dari $p$ terlebih dahulu menggunakan aturan hasil bagi. Misalkan $u = x+2 \implies u’ = 1$ $v = x-1 \implies v’ = 1$ Turunan dari $p$ adalah $\begin{aligned} p’ & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{1x-1-x+21}{x-1^2} \\ & = \dfrac{x-1-x-2}{x-1^2} \\ & = \dfrac{-3}{x-1^2}. \end{aligned}$ Sekarang, akan dicari turunan $fx$ menggunakan aturan rantai. $$\begin{aligned} fx & = \left\underbrace{\dfrac{x+2}{x-1}}_{p}\right^{1/2} \\ \implies f'x & = \dfrac12\left\dfrac{x+2}{x-1}\right^{-1/2} \cdot \underbrace{\dfrac{-3}{x-1^2}}_{p’} \\ & = \dfrac12 \cdot \sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}} \cdot \dfrac{-3}{x-1^2} \\ & = \dfrac{-3}{2x-1^{3/2}\sqrt{x+2}} \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{f'x = \dfrac{-3}{2x-1^{3/2}\sqrt{x+2}}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 13 Diketahui $fx = x.$ Jika turunan pertamanya adalah $f'x$, maka nilai dari $f'999 = \cdots \cdot$ A. $0$ C. $\dfrac{1}{999}$ E. $999$ B. $1$ D. $2$ Pembahasan Diketahui $y = fx = x.$ Akan dicari turunan dari $y$. $\begin{aligned} y & = x \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ y^2 & = x^2 \\ 2y \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 2x \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{x}{y} = \dfrac{x}{x} \end{aligned}$ Untuk $x = 999$, diperoleh $\boxed{f'999 = \dfrac{999}{999} = 1}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 14 Turunan pertama dari $y=2x+1^5x+1$ ditulis sebagai $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$. Jika $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = ax+b^4cx+d$ dengan $a,b,c,d$ merupakan bilangan bulat positif, maka nilai dari $a+b+c+d = \cdots \cdot$ A. $20$ C. $26$ E. $29$ B. $24$ D. $27$ Pembahasan Diketahui $y=2x+1^5x+1.$ Gunakan aturan turunan dasar terutama aturan hasil kali dan aturan rantai. $$\begin{aligned} u & = \underbrace{2x+1}_{p}^5 \implies u’ = 52x+1^4\underbrace{2}_{p’} = 102x+1^4 \\ v & = x+1 \implies v’ = 1 \end{aligned}$$Dengan aturan hasil kali dalam turunan, kita peroleh $$\begin{aligned} y’ & = u’v+uv’ \\ & = 102x+1^4x+1 + 2x+1^51 \\ & = 2x+1^410x+1+2x+1 \\ &= 2x+1^410x+10+2x+1 \\ & = 2x+1^412x+11 \end{aligned}$$Karena diketahui $y’ = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = ax+b^4cx+d$, didapat $a = 2$, $b=1$, $c=12$, dan $d=11$ sehingga $$\boxed{a+b+c+d=2+1+12+11=26}$$Jawaban C [collapse] Soal Nomor 15 Turunan pertama dari invers fungsi $fx = \dfrac{x-1}{2}$ adalah $\dfrac{\text{d}f^{-1}x}{\text{d}x} = \cdots \cdot$ A. $-2$ C. $-\dfrac12$ E. $2$ B. $-1$ D. $\dfrac12$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac{x-1}{2}$. Pertama, akan dicari invers fungsi $fx$ terlebih dahulu. Misalkan $fx = y$. $\begin{aligned} y & = \dfrac{x-1}{2} \\ 2y & = x-1 \\ 2y+1 & = x \\ 2y+1 & = f^{-1}y \\ 2x+1 & = f^{-1}x \end{aligned}$ Jadi, invers fungsi $fx$ adalah $f^{-1}x = 2x + 1$. Turunan pertamanya dapat dicari dengan menggunakan aturan dasar turunan, yaitu $\boxed{\dfrac{\text{d}f^{-1}x}{\text{d}x} = 2}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 16 Invers dari turunan pertama fungsi $fx=3x^2+4x-2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{x-4}{6}$ D. $\dfrac{6}{x+4}$ B. $\dfrac{x+4}{6}$ E. $\dfrac{x-4}{x+4}$ C. $\dfrac{6}{x-4}$ Pembahasan Diketahui $fx = 3x^2+4x-2.$ Pertama, kita akan mencari turunan pertamanya dulu. $\begin{aligned} f'x & = 32x^{2-1}+41x^{1-1}-0 \\ & = 6x + 4 \end{aligned}$ Selanjutnya, kita akan mencari invers dari $f'x = 6x + 4$. Misalkan $f'x = y$ sehingga $\begin{aligned} y & = 6x + 4 \\ y-4 & = 6x \\ x & = \dfrac{y-4}{6} \\ f^{-1′}y & = \dfrac{y-4}{6} \\ f^{-1′}x & = \dfrac{x-4}{6}. \end{aligned}$ Jadi, invers dari turunan pertama $fx$ adalah $\boxed{\dfrac{x-4}{6}}$ Jawaban A [collapse] Baca Soal dan Pembahasan – Komposisi dan Invers Fungsi Soal Nomor 17 Jika $Px = \sqrt[3]{x}$, maka $Px-3xP'x$ sama dengan $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $2 \sqrt[3]{x}$ E. $x \sqrt[3]{x}$ B. $1$ D. $3 \sqrt[3]{x}$ Pembahasan Diketahui $Px = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$. Turunan pertama dari $Px$ adalah $P'x = \dfrac13x^{1/3-1} = \dfrac13x^{-2/3}.$ Dengan demikian, $$\begin{aligned} Px-3xP'x & = \sqrt[3]{x}-\cancel{3}x \cdot \dfrac{1}{\cancel{3}}x^{-2/3} \\ & = \sqrt[3]{x}-x^{-2/3+1} \\ & = \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x} = 0. \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{Px-3xP'x = 0}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 18 Jika $f\left\dfrac{x-3}{2x+1}\right = x^2+x-2$, maka nilai dari $f'1 = \cdots \cdot$ A. $-49$ C. $0$ E. $49$ B. $-7$ D. $7$ Pembahasan Diketahui $f\left\dfrac{x-3}{2x+1}\right = x^2+x-2.$ Pertama, kita cari turunan dari $p = \dfrac{x-3}{2x+1}$ menggunakan aturan hasil bagi. Misalkan $u = x-3 \implies u’ = 1$ $v = 2x+1 \implies v’ = 2$ Dengan demikian, $\begin{aligned} p’ & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{12x+1-x-32}{2x+1^2} \\ & = \dfrac{2x+1-2x+6}{2x+1^2} \\ & = \dfrac{7}{2x+1^2}. \end{aligned}$ Dengan menggunakan aturan rantai, kita akan mencari turunan dari $fx$. $$\begin{aligned} f\left\underbrace{\dfrac{x-3}{2x+1}}_{p}\right & = x^2+x-2 \\ \implies f’\left\dfrac{x-3}{2x+1}\right \cdot \underbrace{\dfrac{7}{2x+1^2}}_{p’} & = 2x+1 \end{aligned}$$ Kita akan mencari nilai $f'1$ yang berarti $\begin{aligned} \dfrac{x-3}{2x+1}& =1 \\ x-3 & = 2x+1 \\ x & = -4. \end{aligned}$ Substitusi $x = -4$ pada $f’\left\dfrac{x-3}{2x+1}\right \cdot \dfrac{7}{2x+1^2} = 2x+1$ dan kita akan memperoleh $$\begin{aligned} f’\left\dfrac{-4-3}{2-4+1}\right \cdot \dfrac{7}{2-4+1^2} & = 2-4+1 \\ f'1 \cdot \dfrac{7}{49} & = -7 \\ f'1 & = -7 \times 7 = -49. \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{f'1 = -49}$$Jawaban A [collapse] Soal Nomor 19 Jika $f \circ g'x = g \circ f'x$, $g2 = g'2 = 2$ dan $f2 = 1$, maka nilai dari $g'1 = \cdots \cdot$ A. $1$ C. $3$ E. $5$ B. $2$ D. $4$ Pembahasan Diberikan $g2 = g'2 = 2$ dan $f2 = 1.$ Gunakan aturan rantai. $\begin{aligned} f \circ g'x & = g \circ f'x \\ [fgx]’ & = [gfx]’ \\ f'gx \cdot g'x & = g'fx \cdot f'x \end{aligned}$ Sekarang, substitusi $x = 2$. $\begin{aligned} f'g2 \cdot g'2 & = g'f2 \cdot f'2 \\ \cancel{f'2} \cdot 2 & = g'1 \cdot \cancel{f'2} \\ 2 & = g'1 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{g'1 = 2}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Naik dan Fungsi Turun Soal Nomor 20 Laju perubahan fungsi $fx = x^2-3^2$ pada $x=2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $8$ C. $5$ E. $1$ B. $6$ D. $2$ Pembahasan Diketahui $fx = x^2-3^2 = x^4-6x^2+9$. Laju perubahan fungsi pada saat $x=2$ dinyatakan oleh nilai turunan pertama $fx$ saat $x = 2$, atau secara matematis, $f'2$. Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh $\begin{aligned} fx &= 4x^{4-1}-62x^{2-1}+0 \\ & = 4x^3-12x \end{aligned}$ Untuk $x=2$, diperoleh $\boxed{f'2 = 42^3-122 = 32-24 = 8}$ Jadi, laju perubahan fungsi $fx$ pada saat $x=2$ adalah $\boxed{8}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 21 Sebuah persegi dengan sisi $x$ memiliki luas $fx$. Nilai $f'6$ adalah $\cdots \cdot$ A. $36$ C. $10$ E. $6$ B. $12$ D. $8$ Pembahasan Luas persegi itu dinyatakan oleh $fx = x \cdot x = x^2$. Turunan pertama $fx$ adalah $f'x = 2x$. Substitusi $x = 6$ dan kita akan memperoleh $\boxed{f'6 = 26=12}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 22 Besar populasi di suatu daerah $t$ tahun mendatang ditentukan oleh persamaan $pt = 10^3t^2-5 \cdot 10^2t + 10^6$. Laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang adalah $\cdots \cdot$ A. $ jiwa per tahun B. $ jiwa per tahun C. $ jiwa per tahun D. $ jiwa per tahun E. $ jiwa per tahun Pembahasan Diketahui $pt = 10^3t^2-5 \cdot 10^2t + 10^6$. Laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang dinyatakan oleh nilai turunan pertama $pt$ saat $t = 5$. Turunan pertamanya adalah $p't= 10^32t-5 \cdot 10^2.$ Substitusi $t = 5$ dan kita akan memperoleh $\begin{aligned} p'5 & = 10^325-5 \cdot 10^2 \\ & = = \end{aligned}$ Jadi, laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang adalah $\boxed{ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 23 Dua bilangan bulat $m$ dan $n$ memenuhi hubungan $2m-n=40$. Nilai minimum dari $p=m^2+n^2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $320$ D. $260$ B. $295$ E. $200$ C. $280$ Pembahasan Diketahui $2m-n=40$. Persamaan di atas dapat ditulis menjadi $n = 2m-40$. Karena $p=m^2+n^2$, haruslah $\begin{aligned} p & = m^2+2m-40^2 \\ & = m^2 + 4m^2-160m+1600 \\ & = 5m^2-160m+1600. \end{aligned}$ Agar $p$ minimum, turunan pertama $p$ terhadap variabel $m$ harus bernilai $0$. $\begin{aligned} \dfrac{\text{d}p}{\text{d}m} & = 0 \\ 10m-160 & = 0 \\ 10m & = 160 \\ m & = 16 \end{aligned}$ $p$ akan minimum saat $m = 16$. Ini berarti nilai $\begin{aligned} p & = 5m^2-160m+1600 \\ & = 516^2-16016+1600 \\ & = 1280-2560+1600 \\ & = 320. \end{aligned}$ Jadi, nilai minimum dari $p$ adalah $\boxed{320}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 24 Jumlah dua bilangan $p$ dan $q$ adalah $6$. Nilai minimum dari $2p^2+q^2 = \cdots \cdot$ A. $12$ C. $20$ E. $32$ B. $18$ D. $24$ Pembahasan Diketahui $p+q = 6$. Persamaan di atas dapat ditulis menjadi $q = 6-p$. Misalkan $z = 2p^2+q^2$, maka $\begin{aligned} z & = y^2+6-p^2 \\ & = 2p^2 + 36-12p+p^2 \\ & = 3p^2-12p+36. \end{aligned}$ Agar $z$ minimum, turunan pertama $z$ terhadap variabel $p$ harus bernilai $0$. $\begin{aligned} \dfrac{\text{d}z}{\text{d}p} & = 0 \\ 6p-12 & = 0 \\ 6p & = 12 \\ p & = 2 \end{aligned}$ $z$ akan minimum saat $p = 2$. Ini berarti kita peroleh $\begin{aligned} z & = 3p^2-12p+36 \\ & = 32^2-122+36 \\ & = 12-24+36 \\ & = 24. \end{aligned}$ Jadi, nilai minimum dari $2p^2-q^2$ adalah $\boxed{24}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 25 Jumlah $2$ bilangan bulat positif $x$ dan $y$ adalah $18$. Nilai maksimum dari $xy$ adalah bilangan dua-digit $\overline{ab}$. Hasil dari $a \times b = \cdots \cdot$ A. $0$ C. $12$ E. $24$ B. $8$ D. $16$ Pembahasan Diketahui $x+y = 18$. Persamaan di atas dapat ditulis menjadi $y = 18-x$. Misalkan $z = xy$, maka $\begin{aligned} z & = x18-x \\ & = 18x-x^2. \end{aligned}$ Agar $z$ maksimum, turunan pertama $z$ terhadap variabel $x$ harus bernilai $0$. $\begin{aligned} \dfrac{\text{d}z}{\text{d}x} & = 0 \\ 18-2x & = 0 \\ 2x & = 18 \\ x & = 9 \end{aligned}$ $z$ akan maksimum saat $x = 9$. Ini berarti nilai $\begin{aligned} z & = 18x-x^2 \\ & = 189-9^2 \\ & = 918-9 \\ & = 81. \end{aligned}$ Jadi, nilai maksimum dari $xy$ adalah $\overline{ab} = 81,$ artinya $a = 8$ dan $b = 1$ sehingga $\boxed{a \times b = 8 \times 1 = 8}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Persamaan Garis Singgung Menggunakan Turunan Soal Nomor 26 Misalkan $hx = 5 + fx^2$ dengan grafik $fx$ diberikan pada gambar di bawah. Nilai $h'0 = \cdots \cdot$ A. $-16$ C. $-5$ E. $-\dfrac13$ B. $-7$ D. $-\dfrac43$ Pembahasan Diketahui $hx = 5 + fx^2.$ Turunan pertama $hx$ dapat dicari dengan menggunakan aturan rantai. $\begin{aligned} h'x & = 0 + 2fx \cdot f'x \\ & = 2fx \cdot f'x \end{aligned}$ Jika $x = 0$, diperoleh $h'0 = 2f0 \cdot f'0.$ Nilai fungsi $f$ saat $x = 0$ adalah $f0 = 2$ lihat grafik. $f'0$ menyatakan gradien garis singgung $fx$ di titik $x = 0$. Tampak pada grafik bahwa garis singgung $fx$ di titik tersebut melalui $-1, 6$ dan $0, 2$ sehingga gradiennya adalah $f'0 = m = \dfrac{6-2}{-1-0} = -4$. Untuk itu, $\begin{aligned} h'0 & = 2f0 \cdot f'0 \\ & = 22-4 = -16 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{h'0 = -16}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 27 Diketahui grafik kurva $y = fx$ seperti pada gambar di bawah. Jika $hx = f \circ fx$ dan $h'x$ menyatakan turunan pertama dari $hx$, maka nilai $h'-2 = \cdots \cdot$ A. $-2$ C. $0$ E. $2$ B. $-1$ D. $1$ Pembahasan Berdasarkan grafik $fx$, tampak bahwa $f-2 = -2.$ Di titik $-2, -2$, terdapat garis singgung dengan kemiringan gradien $m = \dfrac{-2}{2} = -1$. Ini berarti $f'-2 = -1$ karena turunan pertama fungsi di suatu titik merupakan gradien garis singgung grafik fungsi di titik tersebut. Oleh karena itu, berdasarkan aturan rantai, kita peroleh $\begin{aligned} hx & = f \circ fx = ffx \\ \implies h'x & = f'fx \cdot f'x \\ h'-2 & = f'f-2 \cdot f'-2 \\ & = f'-2 \cdot f'-2 \\ & = -1 \cdot -1 = 1. \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{h'-2 = 1}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 28 Perhatikan grafik fungsi $fx$ dan $gx$ berikut. Jika $hx=\dfrac{fx}{gx}$, maka nilai dari $h'1 = \cdots \cdot$ A. $-6$ C. $-2$ E. $2$ B. $-3$ D. $1$ Pembahasan Grafik fungsi $fx$ yang memuat $x = 1$ adalah garis lurus yang melalui titik $0, 8$ dan $4, 0$. Persamaan garisnya adalah $\begin{aligned} 8x + 4y & = 8 \cdot 4 \\ 2x + y & = 8 \\ fx & = y = -2x + 8. \end{aligned}$ Untuk $x = 1$, diperoleh $f1 = -21+8 = 6.$ Turunan pertama $fx$ adalah $f'x = -2$ sehingga $f'1 = -2.$ Grafik fungsi $gx$ yang memuat $x = 1$ adalah garis lurus yang melalui titik $0, 0$ dan $6, 8$. Persamaan garisnya adalah $gx = y = \dfrac86x = \dfrac43x.$ Untuk $x = 1$, diperoleh $g1 = \dfrac43$. Turunan pertama $gx$ adalah $g'x = \dfrac43$ sehingga $g'1 = \dfrac43.$ Diketahui $hx= \dfrac{fx}{gx}$. Dengan menggunakan aturan hasil bagi, diperoleh turunan pertama $hx$, yaitu $h'x = \dfrac{f'x \cdot gx-fx \cdot g'x}{gx^2}.$ Substitusi $x = 1$. $\begin{aligned} h'1 & = \dfrac{f'1 \cdot g1-f1 \cdot g'1}{g1^2} \\ & = \dfrac{-2 \cdot \dfrac43-6 \cdot \dfrac43}{\left\dfrac43\right^2} \\ & = \dfrac{-\dfrac83-8}{\dfrac{16}{9}} \\ & = -\dfrac{\cancelto{2}{32}}{\cancel{3}} \cdot \dfrac{\cancelto{3}{9}}{\cancel{16}} \\ & = -2 \cdot 3 = -6 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{h'1 = -6}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 29 Jarak yang ditempuh dalam $t$ dari suatu partikel dinyatakan dengan rumus $st = t^3+2t^2+t+1$. Pada saat kecepatan partikel tersebut $21$, maka percepatannya adalah $\cdots \cdot$ A. $10$ C. $16$ E. $20$ B. $12$ D. $18$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} st & = t^3+2t^2+t+1 \\ vt & = 21 \end{aligned}$ Karena fungsi kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi jarak, diperoleh $\begin{aligned} s't & = vt \\ 3t^2+4t+1 & = 21 \\ 3t^2+4t-20 & = 0 \\ 3t+10t-2 & = 0 \\ \therefore t = -\dfrac{10}{3}~\text{atau}&~t = 2. \end{aligned}$ Perhatikan bahwa $t$ mewakili besaran waktu sehingga tidak mungkin bertanda negatif. Oleh karenanya, diambil $t = 2$. Fungsi percepatan $at$ merupakan turunan kedua dari fungsi jarak, atau turunan pertama dari fungsi kecepatan sehingga $\begin{aligned} at & = v't = 6t + 4 \\ \text{Subs}&\text{titusi}~t = 2 \\ a2 & = 62+4=16 \end{aligned}$ Jadi, percepatan partikel itu adalah $\boxed{16}$ Jawaban C [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Carilah turunan pertama fungsi berikut ini. $fx=x^6\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}}$ Pembahasan Ada $2$ alternatif untuk menyelesaikan persoalan ini. Cara 1 Menyatakan dalam bentuk pangkat Nyatakan rumus fungsinya dalam bentuk yang lebih sederhana dengan menggunakan sifat-sifat eksponen. Cara 2 Menggunakan formula Jika $fx = ax^p \sqrt[m]{x^n}$ dengan $p>1$, $m > n$, dan $m,n$ bilangan positif, maka turunan fungsi itu adalah $\boxed{f'x = \dfrac{apm+n}{m}x^{p-1} \sqrt[m]{x^n}}$ Cara 1 Menyatakan dalam bentuk pangkat $\begin{aligned} fx & =x^6\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}} \\ & = x^6 \cdot x^{5/7} \cdot x^{\frac{3}{7 \times 5}} \cdot x^{\frac{1}{7 \times 5 \times 2}} \\ & = x^6 \cdot x^{5/7} \cdot x^{3/35} \cdot x^{1/70} \\ & = x^{6+5/7+3/35+1/70} \\ & = x^{420/70+50/70+6/70+1/70} \\ & = x^{477/70} \\ f'x & = \dfrac{477}{70}x^{477/70-1} \\ & = \dfrac{477}{70}x^{407/70} \\ & = \dfrac{477}{70}x^5 \cdot x^{57/70} \\ & =\dfrac{477}{70}x^5 \cdot x^{5/7 + 3/35 + 1/70} \\ & = \dfrac{477}{70}x^5\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}} \end{aligned}$ Cara 2 Menggunakan Formula $$\begin{aligned} fx & =x^6\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}} \\ & = \dfrac{[6 \times 7 + 5 \times 5 + 3] \times 2 + 1}{7 \times 5 \times 2}x^5\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}} \\ & = \dfrac{477}{70}x^5\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}} \end{aligned}$$ [collapse] Soal Nomor 2 Diketahui $fx = 4x+34-x^2$. Buktikan bahwa $\dfrac{\text{d}fx}{\text{d}x} = -26x^2+x-8.$ Pembahasan Diketahui $fx = 4x+34-x^2$ $= 16x-4x^3+12-3x^2.$ Dengan menggunakan aturan turunan dasar, turunan pertama dari $fx$ adalah $$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}fx}{\text{d}x} & = 161x^0-43x^2+0-32x^1 \\ & = 16-12x^2-6x \\ & = -26x^2+3x-8. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\boxed{\dfrac{\text{d}fx}{\text{d}x} = -26x^2+x-8}$ [collapse] Soal Nomor 3 Diberikan fungsi $fx=ax^2+bx+c$. Jika $f'0 = 2$, $f'1 = 4$, dan $f2=6$, carilah nilai $a, b$, dan $c$. Pembahasan Diketahui $fx=ax^2+bx+c.$ Turunan pertamanya adalah $f'x = 2ax + b.$ Karena $f'0 = 2$, kita peroleh $2a\color{red}{0}+b = 2 \Leftrightarrow b = 2.$ Karena $f'1 = 4$ dan $b=2$, kita peroleh $\begin{aligned} 2a\color{red}{1}+\color{blue}{2} & = 4 \\ 2a & = 2 \\ a & = 1. \end{aligned}$ Karena $f2 = 6$, serta $a = 1$ dan $b = 2,$ kita peroleh $\begin{aligned} fx & = ax^2+bx+c \\ \implies f2 & = 12^2+22+c \\ 6 & = 4+4+c \\ c & = 6-8 = -2. \end{aligned}$ Jadi, nilai $a,b,c$ berturut-turut adalah $\boxed{1, 2, -2}$ [collapse] Soal Nomor 4 Diketahui $fx = ax^3+bx^2+cx+d$, $f-1=4$, $f1 = 0$, $f'-1=0$, dan $f'0 = -3$. Hitunglah nilai-nilai berikut ini. a. $a, b, c$, dan $d$. b. $f'1$ dan $f’\left-\dfrac23\right$ Pembahasan Jawaban a Diketahui $fx = ax^3+bx^2+cx+d.$ Karena $f'0 = -3$ di mana $f'x$ menyatakan turunan pertama $fx$, dapat ditulis $\begin{aligned} f'x & = 3ax^2+2bx+c \\ f'0 & = 3a0^2+2b0+c \\ -3 & = c. \end{aligned}$ Sekarang, $fx = ax^3+bx^2-3x+d.$ Untuk $f-1=4$, kita peroleh $$\begin{aligned} a-1^3+b-1^2-3-1+d & = 4 \\ -a+b+3+d & = 4 \\ -a+b+d & = 1 && \cdots 1 \end{aligned}$$Untuk $f1 = 0$, kita peroleh $$\begin{aligned} a1^3+b1^2-31+d & = 0 \\ a+b-3+d & = 0 \\ a+b+d & = 3 && \cdots 2 \end{aligned}$$Eliminasi $b$ dan $d$ pada Persamaan $1$ dan $2$ di atas sehingga diperoleh $a = 1$. Sekarang, $fx = x^3+bx^2-3x+d$ dan $f'x = 3x^2+2bx-3$. Karena $f'-1 = 0$, diperoleh $\begin{aligned} 3-1^2 + 2b-1-3 & = 0 \\ 3-2b-3 & = 0 \\ b & = 0. \end{aligned}$ Substitusi nilai $b = 0$ dan $a = 1$ pada persamaan $a+b+d = 3$. $1+0+d = 3 \Leftrightarrow d = 2$ Jadi, nilai $a,b,c,d$ berturut-turut adalah $1, 0, -3, 2.$ Jawaban b Diketahui $fx = x^3-3x+2$ sehingga $f'x = 3x^2-3.$ Dengan demikian, $f'1 = 31^2-3 = 3-3 = 0$ dan $\begin{aligned} f’\left-\dfrac23\right & = 3\left-\dfrac23\right^2-3 \\ & = -\dfrac43-3 \\ & =-\dfrac53 \end{aligned}$ [collapse] Soal Nomor 5 Diberikan $fx = x^4+ax^2+b$. Carilah nilai $a$ dan $b$ agar $f1-1=f'1-2=0.$ Pembahasan Diketahui $fx=x^4+ax^2+b.$ Turunan pertama dari $fx$ adalah $f'x=4x^3+2ax.$ Karena $f1-1 = 0$, diperoleh $\begin{aligned} 1^4+a1^2 + b-1 & = 0 \\ 1+a+b-1 & = 0 \\ a + b & = 0* \end{aligned}$ Karena $f'1-2=0$, diperoleh $\begin{aligned} 41^3+2a1-2 & = 0 \\ 4+2a-2 & = 0 \\ 2a & = -2 \\ a & = -1. \end{aligned}$ Didapat $\boxed{a=-1}$. Dari $*$, kita peroleh bahwa $\boxed{b = 1}$ [collapse] Soal Nomor 6 Diketahui $gx=ax^2+bx+c$. Carilah nilai $a, b$, dan $c$ yang memenuhi sistem persamaan berikut ini. $g0 = 0$ dan $x+1g'x-2gx+4=0$ Pembahasan Diketahui $gx=ax^2+bx+c.$ Karena $g0=0$, diperoleh $a0^2+b0+c = 0 \Leftrightarrow c = 0.$ Jadi, $gx = ax^2+bx$ sehingga turunan pertamanya adalah $g'x = 2ax + b$. Dari $x+1g'x-2gx+4=0$, kita peroleh $$\begin{aligned} x+12ax+b-2ax^2+bx+4 & = 0 \\ \cancel{2ax^2}+bx+2ax+b-\cancel{2ax^2}-2bx+4 & = 0 \\ -bx+2ax+b+4 & = 0 \\ -b+2ax + b+4 & = 0 \end{aligned}$$Di ruas kiri, terdapat variabel $x$ dengan koefisien $-b+2a$ serta konstanta $b+4$, sedangkan di ruas kanan hanya ada konstanta $0$. Jika kita samakan, kita peroleh $\begin{cases} -b+2a & = 0 && \cdots 1 \\ b+4 & = 0 && \cdots 2 \end{cases}$ Dari Persamaan $2$, diperoleh $b = -4.$ Substitusi $b=-4$ pada Persamaan $1.$ $\begin{aligned} -\color{red}{b}+2a & = 0 \\ -\color{red}{-4}+2a & = 0 \\ 4+2a & = 0 \\ a & = -2 \end{aligned}$ Jadi, nilai $a, b, c$ berturut-turut adalah $\boxed{-2, -4, 0}$ [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Turunan Fungsi Implisit Soal Nomor 7 Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan real sedemikian sehingga jumlahnya $8$, tentukan nilai maksimum dan minimum dari $a^3+b^3.$ Pembahasan Diketahui $a+b=8$, ekuivalen dengan $a = 8-b.$ Dengan demikian, $$\begin{aligned} a^3+b^3 & = 8-b^3+b^3 \\ & = 512-192b+24b^2-\cancel{b^3}+\cancel{b^3} \\ & = 24b^2-192b+512. \end{aligned}$$Misalkan $fb = 24b^2-192b+512$. Ini merupakan fungsi kuadrat yang terbuka ke atas seperti huruf U, artinya memiliki nilai minimum. Untuk mencari nilai minimum, buat $f'b = 0$, lalu tentukan nilai $b$. $\begin{aligned} f'b & = 0 \\ \Rightarrow 48b-192 & = 0 \\ 48b & = 192 \\ b & = 4 \end{aligned}$ Karena $b=4$, haruslah $a = 4.$ Jadi, nilai minimum dari $a^3+b^3$ tercapai ketika $a = b = 4$, yaitu $\boxed{4^3+4^3=128}$ Sementara itu, nilai maksimum dari $a^3+b^3$ tidak ada karena tidak terbatas di atas. Catatan Nilai maksimum dari $a^3+b^3$ BUKAN takhingga. [collapse]
Apr30 2017 Kumpulan Soal Trigonometri dan Pembahasannya 1. Dari segitiga ABC diketahui 60 30 β α dan. Contoh Soal Bab Trigonometri Dan Pembahasannya. Aug 25 2019 120 soal dan pembahasan limit fungsi trigonometri 1. 2 2 x -5 sin x -3 0 2. Un 2017 himpunan penyelesaian persamaan cos 2x. PQ 2 RQ 2 RP 2 2RQ.belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Trigonometri. Turunan fungsi trigonometri ini adalah kelanjutan Calon guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika SMA Turunan Fungsi Trigonometri. Turunan fungsi trigonometri ini adalah kelanjutan atau pengembangan dari turunanan fungsi aljabar. Sama halnya dengan turunan fungsi aljabar bahwa untuk belajar matematika dasar turunan fungsi trigonometri, ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang limit fungsi aljabar. Terkhusus lagi untuk belajar turunan fungsi trigonometri, kita juga sudah belajar limit fungsi trigonometri, karena ini adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat dalam belajar turunan fungsi. Penerapan turunan fungsi trigonometri dalam kehidupan sehari-hari sangat banyak, diantaranya menemukan nilai maksimum atau minimum. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada turunan fungsi trigonometri bukanlah hal sulit, jika kita mau mengikuti step by step yang kita diskusikan pada alternatif pembahasan soal dibawah ini, maka kita akan bisa memahami soal-soal turunan fungsi trigonometri. Turunan diferensial dari sebuah fungsi $f$ adalah fungsi yang dituliskan $f'$ dibaca"f aksen". Jika sebuah fungsi dengan variabel $x$ dituliskan $fx$ maka turunan pertama fungsi tersebut adalah $f'x$, didefinisikan $f'x=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{fx+h-fx}{h}$ dengan catatan bahwa nilai limit ini ada. Jika $f'x$ bisa diperoleh $f$ dikatakan dapat diturunakan diferentiable. Selain bentuk $f'x$ dibaca"f aksen x", bentuk lain yang umum dipakai pada penulisan turunan fungsi $y=fx$ adalah $y'$ atau $D_{x}fx$ atau $\dfrac{dy}{dx}$ atau $\dfrac{d \leftfx\right}{dx}$. ATURAN TURUNAN FUNGSI Dari definisi turunan fungsi di atas, diperoleh beberapa aturan dasar turunan fungsi yang dapat digunakan pada turunan fungsi aljabar atau turunan fungsi trigonometri, antara lain Jika $fx=k$ kkonstanta maka $f'x=0$ Jika $fx=x$ maka $f'x=1$ Jika $fx= kx^{n}$ maka $f'x=knx^{n-1}$ Jika $fx= k \cdot ux$ maka $f'x=k \cdot u'x$ Jika $fx=ux+vx$ maka $f'x=u'x + v'x$ Jika $fx=ux - vx$ maka $f'x=u'x - v'x$ Jika $fx=ux \cdot vx$ maka $f'x=u'x \cdot vx+ux \cdot v'x$ Jika $fx=\dfrac{ux}{vx}$ maka $f'x=\dfrac{u'x \cdot vx-ux \cdot v'x}{v^{2}x}$ Jika $fx= u^{n}x$ maka $f'x=n \cdot u^{n-1}x \cdot u'x$ Jika $fx= \left ux \right $ maka $f'x=\dfrac{ux}{\left ux \right } \cdot u'x,\ \ u\neq 0 $ Jika $fx= ln\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{ux}$ Jika $fx=e^{ux}$ maka $f'x=u'x \cdot e^{ux}$ Jika $fx=log_{a}ux$ maka $f'x= \dfrac{u'x}{ln\ a \cdot ux}$ Jika $fx=a^{ux}$ maka $f'x=a^{ux} \cdot u'x \cdot ln\ a$ ATURAN TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRIDari definisi turunan fungsi, selain beberapa aturan pada turunan fungsi di atas, khusus untuk turunan fungsi trigonometri diperoleh beberapa aturan dasar turunan fungsi, yaitu Jika $fx=sin\ ux$ maka $f'x=u'x \cdot cos\ ux$ Jika $fx=cos\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot sin\ ux$ Jika $fx= tan\ ux$ maka $f'x=u'x \cdot sec^{2}\ ux$ Jika $fx= cot\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot csc^2\ ux$ Jika $fx= sec\ ux$ maka $f'x=u'x \cdot sec\ ux\ tan\ ux$ Jika $fx=csc\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot csc\ ux\ cot\ ux$ Jika $fx=arcsin\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{\sqrt{1-u^{2}x}}$ Jika $fx=arccos\ ux$ maka $f'x=\dfrac{-u'x}{\sqrt{1-u^{2}x}}$ Jika $fx=arctan\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{1+u^{2}x}$ Jika $fx=arccot\ ux$ maka $f'x=\dfrac{-u'x}{1+u^{2}x}$ Jika $fx=arcsec\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{ux \sqrt{u^{2}x-1}}$ Jika $fx=arccsc\ ux$ maka $f'x=\dfrac{-u'x}{ux \sqrt{u^{2}x-1}}$ Jika $fx=sinh\ ux$ maka $f'x= u'x \cdot cosh\ ux$ Jika $fx=cosh\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot sinh\ ux$ Jika $fx=tanh\ ux$ maka $f'x=u'x \cdot sech^{2}\ ux$ Jika $fx=coth\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot csch^2\ ux$ Jika $fx=sech\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot sech\ ux\ tanh\ ux$ Jika $fx=csch\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot csch\ ux\ coth\ ux$ Jika $fx=sinh^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{\sqrt{u^{2}x+1}}$ Jika $fx=cosh^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{\sqrt{u^{2}x-1}}$ Jika $fx=tanh^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{1-u^{2}x}$ Jika $fx=coth^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{1-u^{2}x}$ Jika $fx=sech^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{-u'x}{ux\sqrt{1-u^{2}x}}$ Jika $fx=csch^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{-u'x}{ux \sqrt{1+u^{2}x}}$ MENENTUKAN GRADIEN GARIS SINGGUNG KURVA Jika kurva $y=fx$ disinggung oleh garis $g$ dititik $x_{1},y_{1}$, gradien garis singgung $g$ adalah $m=f'x_{1}$ dan persamaan garis singgung $g$ adalah $y-y_{1}=mx-x_{1}$. FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN Jika $f'x \gt 0$ maka fungsi $y=fx$ naik atau sebaliknya jika $y=fx$ naik maka $f'x \gt 0$ Jika $f'x \lt 0$ maka fungsi $y=fx$ turun atau sebaliknya jika $y=fx$ turun maka $f'x \lt 0$ NILAI MAKSIMUM atau NILAI MINIMUMNilai maksimum atau minimum suatu fungsi $fx$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua. Jika $x=a$ pada $f'a=0$ sehingga $f''a \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $fx$ minimum atau nilai minimum $fx$ adalah $fa$. Jika $x=a$ pada $f'a=0$ sehingga $f''a \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $fx$ maskimum atau nilai maksimum $fx$ adalah $fa$. Soal dan Pembahasan Matematika SMA Turunan Fungsi Trigonometri Untuk memantapkan beberapa aturan dasar turunan fungsi trigonometri di atas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau sekolah kedinasan😊. 1. Soal UMPTN 1992 Rayon A *Soal LengkapDiketahui fungsi $fx=\dfrac{2+cos\ x}{sin\ x}$. Garis singgung grafiknya pada $x=\dfrac{\pi}{2}$ memotong sumbu $y$ di titik $x=\left 0,b \right$. Nilai $b$ adalah... $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & \dfrac{\pi}{2} \\ C\ & -2+\dfrac{\pi}{2} \\ D\ & 2-\dfrac{\pi}{2} \\ E\ & 2+\dfrac{\pi}{2} \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk kita ingat bahwa jika $y=sin\ x$ maka $y'=cos\ x$ dan $y=cos\ x$ maka $y'=-sin\ x$. Untuk $x=\dfrac{\pi}{2}=90^{\circ}$ pada $fx=\dfrac{2+cos\ x}{sin\ x}$ maka kita peroleh $\begin{align} y &=\dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ &=\dfrac{2+cos\ 90^{\circ}}{sin\ 90^{\circ}} \\ &=\dfrac{2+0}{1}=2 \\ \hline x,y &= \left 90^{\circ},2 \right \end{align}$ Gradien garis singgung di sebuah titik dapat kita tentukan dengan menggunakan turunan pertama yaitu $m=f'x$, sehingga saat $x=\dfrac{\pi}{2}=90^{\circ}$ kita peroleh $\begin{align} fx\ &= \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline fx\ &= \dfrac{u}{v}\ \rightarrow f'x = \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ \hline m=f'x &= \dfrac{\left -sin\ x \right\leftsin\ x \right-\left 2+cos\ x \right\leftcos\ x \right}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -sin^{2} x -\left 2cos\ x+cos^{2} x \right}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -sin^{2} x -2cos\ x-cos^{2} x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left sin^{2}+cos^{2} x \right -2cos\ x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - 1 -2cos\ x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - 1 -2cos\ 90^{\circ} }{sin^{2} 90^{\circ}} \\ &= \dfrac{ - 1 -2 0 }{1^{2}} \\ &= -1 \\ \end{align}$ Persaman garis untuk $m=-1$ pada $x,y= \left 90^{\circ},2 \right$ adalah $\begin{align} y-y_{1} &= m \left x-x_{1} \right \\ y-2 &= -1 \left x- 90^{\circ} \right \\ y-2 &= -x+ 90^{\circ} \\ y &= -x+2+ 90^{\circ} \end{align}$ Garis memotong sumbu $y$ di titik $\left 0,b \right$ sehingga $\begin{align} y &= -x+2+ 90^{\circ} \\ b &= -0+2+ 90^{\circ} \\ b &=2+ 90^{\circ} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 2+\dfrac{\pi}{2}$2. Soal UMPTN 1993 Rayon B *Soal LengkapJika $fx= - \left cos^{2}x-sin^{2}x \right$, maka $f'x$ adalah... $\begin{align} A\ & 2 \left cos\ x + sin\ x \right \\ B\ & 2 \left cos\ x - sin\ x \right \\ C\ & sin\ x\ cos\ x \\ D\ & 2\ sin\ x\ cos\ x \\ E\ & 4\ sin\ x\ cos\ x \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk menyelesaikan soal ini kita meminjam sifat dari identitas trigonometri yaitu $sin\ 2x=2\ sin\ x\ cos\ x$ dan $cos\ 2x=cos^{2}x-sin^{2}x$, sehingga berlaku $\begin{align} fx &= - \left cos^{2}x-sin^{2}x \right \\ &= - \left -2\ sin\ 2x \right \\ &= 2\ sin\ 2x \\ &= 2\ \cdot 2 sin\ x\ cos\ x \\ &= 4 sin\ x\ cos\ x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 4\ sin\ x\ cos\ x$3. Soal UMPTN 1993 Rayon B *Soal LengkapJika $y=3x^{4}+sin\ 2x +cos\ 3x$, maka $\dfrac{dy}{dx}=\cdots$ $\begin{align} A\ & 12x^{3}+2\ cos\ 2x +3\ sin\ 3x \\ B\ & 12x^{3}+ cos\ 2x - sin\ 3x \\ C\ & 12x^{3}-2\ cos\ 2x +3\ sin\ 3x \\ D\ & 12x^{3}-2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x \\ E\ & 12x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} y &=3x^{4}+sin\ 2x +3\ cos\ 3x \\ \dfrac{dy}{dx} &=34x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x \\ &=12x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 12x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x$4. Soal UMPTN 1993 Rayon C *Soal LengkapJika $y=2\ sin\ 3x -3\ cos\ 2x$, maka $\dfrac{dy}{dx}=\cdots$ $\begin{align} A\ & 2\ cos\ 3x -3\ sin\ 2x \\ B\ & 6\ cos\ 3x -3\ sin\ 2x \\ C\ & 2\ cos\ 3x +3\ sin\ 2x \\ D\ & 6\ cos\ 3x +6\ sin\ 2x \\ E\ & -6\ cos\ 3x - 6\ sin\ 2x \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} y &=2\ sin\ 3x -3\ cos\ 2x \\ \dfrac{dy}{dx} &=23\ cos\ 3x -3 \left-2\ sin\ 2x \right \\ &=6\ cos\ 3x +6 \ sin\ 2x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 12x^{3}+2cos\ 2x -3 sin\ 3x$5. Soal UMPTN 1999 Rayon A *Soal LengkapJika $fx=\dfrac{sin\ x+cos\ x}{sin\ x}$, $sin\ x \neq 0$ dan $f'x$ adalah turunan $fx$, maka $f' \left \dfrac{\pi}{2} \right $ $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} fx\ &= \dfrac{sin\ x+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline fx\ &= \dfrac{u}{v}\ \rightarrow f'x = \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ \hline f'x &= \dfrac{\left cos\ x - sin\ x \right\left sin\ x \right-\left sin\ x + cos\ x \right\left cos\ x \right}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{cos\ x\ sin\ x - sin^{2} x- sin\ x\ cos\ x-cos^{2}x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - sin^{2} x-cos^{2}x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left sin^{2} x+cos^{2}x \right}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - 1}{sin^{2} x} \\ \hline f' \left \dfrac{\pi}{2} \right &= \dfrac{ - 1}{sin^{2} \left \dfrac{\pi}{2} \right} \\ &= \dfrac{ - 1}{1} = -1 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ -1$6. Soal UMPTN 1998 Rayon A *Soal LengkapJika $fx=a\ tan\ x +bx$, $f'\left \dfrac{\pi}{4} \right=3$ dan $f'\left \dfrac{\pi}{3} \right=9$, maka $a+b=\cdots$ ... $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 1 \\ C\ & \dfrac{\pi}{2} \\ D\ & 2 \\ E\ & \pi \end{align}$ Alternatif PembahasanCatatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu jika $fx=tan\ x$ maka $f'x=sec^{2} x$. Apabila bentuk ini tidak ingat waktu ujian maka, hal yang paling mungkin kita lakukan adalah menurunkan $fx=tan\ x=\dfrac{sin\ x}{cos\ x}$ pakai aturan $y=\dfrac{u}{v}$ maka $y'=\dfrac{u' \cdot v+u \cdot v'}{v^{2}}$. $\begin{align} fx & = a\ tan\ x +bx \\ f'x & = a\ sec^{2} x +b \\ f'x & = \dfrac{a}{cos^{2} x} +b \\ \hline f'\left \dfrac{\pi}{4} \right & = \dfrac{a}{cos^{2} \left \dfrac{\pi}{4} \right} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left 45^{\circ} \right} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{\left \frac{1}{2}\sqrt{2} \right^{2}} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} +b \\ 3 & = 2a +b \\ \hline f'\left \dfrac{\pi}{3} \right & = \dfrac{a}{cos^{2} \left \dfrac{\pi}{3} \right} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left 60^{\circ} \right} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\left \frac{1}{2} \right^{2}} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\frac{1}{4}} +b \\ 9 & = 4a +b \\ \end{align}$ Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh $\begin{array}{cccc} 2a+b = 3 & \\ 4a+b = 9 & - \\ \hline 2a = 6 & \\ a = 3 & \\ b = -3 & \\ \hline a+b=0 \end{array} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $A\ 0$7. Soal SPMB 2002 Regional I *Soal LengkapTurunan pertama dari $y=cos^{4}\ x$ adalah... $\begin{align} A\ & \dfrac{1}{4}\ cos^{3}x \\ B\ & -\dfrac{1}{4}\ cos^{3}x \\ C\ & \dfrac{1}{4}\ sin^{3}x \\ D\ & -4\ sin^{3}x cos\ x \\ E\ & -4\ cos^{3}x\ sin\ x \end{align}$ Alternatif PembahasanUntk menyelesaikan masalah di atas kita coba dengan pemisalan $\begin{align} u & = cos\ x \\ \dfrac{du}{dx} & = -sin\ x \\ \hline y & = cos^{4}\ x\\ y & = u^{4} \\ \dfrac{dy}{du} & = 4u^{3} \\ \hline \dfrac{dy}{dx} & = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 4u^{3} \cdot \left -sin\ x \right \\ & = 4cos^{3}\ x \cdot \left -sin\ x \right \\ & = -4cos^{3}\ x \cdot sin\ x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $E\ -4\ cos^{3}\ x \cdot sin\ x$8. Soal UM STIS 2011 *Soal LengkapJika $fx=a\ tan\ x +bx$, $f'\left \dfrac{\pi}{4} \right=3$ dan $f'\left \dfrac{\pi}{3} \right=9$, maka $a+b=\cdots$ ... $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 2 \\ C\ & \dfrac{24}{5} \\ D\ & 6 \\ E\ & \dfrac{39}{5} \end{align}$ Alternatif PembahasanCatatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu jika $fx=tan\ x$ maka $f'x=sec^{2} x$. Apabila bentuk ini tidak ingat waktu ujian maka, hal yang paling mungkin kita lakukan adalah menurunkan $fx=tan\ x=\dfrac{sin\ x}{cos\ x}$ pakai aturan $y=\dfrac{u}{v}$ maka $y'=\dfrac{u' \cdot v+u \cdot v'}{v^{2}}$. $\begin{align} fx & = a\ tan\ x +bx \\ f'x & = a\ sec^{2} x +b \\ f'x & = \dfrac{a}{cos^{2} x} +b \\ \hline f'\left \dfrac{\pi}{4} \right & = \dfrac{a}{cos^{2} \left \dfrac{\pi}{4} \right} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left 45^{\circ} \right} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{\left \frac{1}{2}\sqrt{2} \right^{2}} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} +b \\ 3 & = 2a +b \\ \hline f'\left \dfrac{\pi}{3} \right & = \dfrac{a}{cos^{2} \left \dfrac{\pi}{3} \right} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left 60^{\circ} \right} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\left \frac{1}{2} \right^{2}} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\frac{1}{4}} +b \\ 9 & = 4a +b \\ \end{align}$ Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh $\begin{array}{cccc} 2a+b = 3 & \\ 4a+b = 9 & - \\ \hline 2a = 6 & \\ a = 3 & \\ b = -3 & \\ \hline a+b=0 \end{array} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $A\ 0$9. Soal SBMPTN 2017 Kode 106/124 *Soal LengkapJika $fx=sinsin^{2}x$, maka $f'x=\ldots$ $\begin{align} A\ & 2\ sin\ x \cdot cossin^{2}x \\ B\ & 2\ sin\ 2x \cdot cossin^{2}x \\ C\ & sin^{2}x \cdot cossin^{2}x \\ D\ & sin^{2}2x \cdot cossin^{2}x \\ E\ & sin\ 2x \cdot cossin^{2}x \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi di atas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu $f'x = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$ Soal$fx=sinsin^{2}x$ Misal $u=sin\ x$ $\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=cos\ x$ Soal$fx=sinu^{2}$ Misal $v=u^{2}$ $\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=2u$ Soal$fx=sinv$ $\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=cosv$ $\begin{split} f'x = \dfrac{df}{dx} & = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\ & =cosv \cdot 2u \cdot cos\ x\\ & =cosu^{2} \cdot 2sin\ x \cdot cos\ x\\ & =cossin^{2}x \cdot 2sin\ x \cdot cos\ x\\ & =cossin^{2}x \cdot sin\ 2x\\ & = sin\ 2x \cdot cossin^{2}x \end{split}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ sin\ 2x \cdot cossin^{2}x$ 10. Soal SBMPTN 2017 Kode 135 *Soal Lengkap Misalkan $fx=2\ tan \left\sqrt{sec\ x} \right$, maka $f'x\cdots$ $\begin{align} A\ & sec^{2} \left\sqrt{sec\ x} \right \cdot tan\ x \\ B\ & sec^{2}\left\sqrt{sec\ x} \right \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot tan\ x \\ C\ & 2sec^{2}\left\sqrt{sec\ x} \right \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot tan\ x \\ D\ & sec^{2}\left\sqrt{sec\ x} \right \cdot sec\ x \cdot tan\ x \\ E\ & 2sec^{2}\left\sqrt{sec\ x} \right \cdot sec\ x \cdot tan\ x \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi di atas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu $f'x = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$ Soal$fx=2\ tan \left\sqrt{sec\ x} \right$ Misal $u=sec\ x$ $\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=sec\ x\ \cdot \tan\ x$ Soal$fx=2\ tan \left\sqrt{u} \right$ Misal $v=\sqrt{u}$ $\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}$ Soal$fx=2\ tan \left v \right$ $\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=2sec^{2}v$ $\begin{split} f'x = \dfrac{df}{dx} &= \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\ & =2sec^{2}v \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{u}} \cdot sec\ x\ \cdot \tan\ x \\ & =2sec^{2}\left \sqrt{u} \right \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{sec\ x}} \cdot sec\ x\ \cdot \tan\ x \\ & =sec^{2}\left \sqrt{sec\ x} \right \cdot \dfrac{1}{\sqrt{sec\ x}} \cdot sec\ x\ \cdot \tan\ x \\ & = sec^{2}\left \sqrt{sec\ x} \right \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot \tan\ x \end{split}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ sec^{2}\left\sqrt{sec\ x} \right \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot tan\ x$ 11. Soal SPMB 2005 Regional II *Soal Lengkap Turunan pertama dari fungsi $fx=\dfrac{1+cos\ x}{sin\ x}$ adalah $f'x=\cdots$ $\begin{align} A\ & \dfrac{1-sin\ x}{sin^{2}x} \\ B\ & \dfrac{ sin\ x-1}{cos\ x-1} \\ C\ & \dfrac{ 2}{cos\ x+1} \\ D\ & \dfrac{ 2}{sin\ x-1} \\ E\ & \dfrac{1}{cos\ x-1} \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} fx\ &= \dfrac{1+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline & u\ = 1+cos\ x \rightarrow u'=-sin\ x \\ & v\ = sin\ x \rightarrow v'=cos\ x \\ \hline fx\ &= \dfrac{u}{v} \\ f'x &= \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ f'x &= \dfrac{\left -sin\ x \right\left sin\ x \right-\left 1 + cos\ x \right\left cos\ x \right}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -sin^{2}\ x - cos\ x - cos^{2} x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -\left sin^{2}\ x+cos^{2} x \right - cos\ x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -1 - cos\ x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left1 + cos\ x \right}{1-cos^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left1 + cos\ x \right}{\left1 + cos\ x \right\left1 - cos\ x \right} \\ &= \dfrac{ -1 }{ \left1 - cos\ x \right} \\ &= \dfrac{1}{cos\ x-1} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ \dfrac{1}{cos\ x-1} $ 12. Soal SPMB 2005 Kode 772 Regional I *Soal Lengkap Jika fungsi $fx=sin\ ax + cos\ bx$ memenuhi $f'0=b$ dan $f'\left \frac{\pi}{2a} \right=-1$, maka $a+b=\cdots$ $\begin{align} A\ & -1 \\ B\ & 0 \\ C\ & 1 \\ D\ & 2 \\ E\ & 3 \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} fx\ &= sin\ ax + cos\ bx \\ f'x\ &= a\ cos\ ax -b\ sin\ bx \\ \hline f'0\ &= a\ cos\ 0 -b\ sin\ 0 \\ b\ &= a\ \cdot 1 -b\ \cdot 0 \\ b\ &= a \\ \hline f'\left \frac{\pi}{2a} \right\ &= a\ cos\ a\left \frac{\pi}{2a} \right -b\ sin\ b\left \frac{\pi}{2a} \right \\ -1\ &= a\ cos\ a\left \frac{\pi}{2a} \right -a\ sin\ a\left \frac{\pi}{2a} \right \\ -1\ &= a\ cos\ \left \frac{\pi}{2 } \right -a\ sin\ \left \frac{\pi}{2 } \right \\ -1\ &= a\ \cdot 0 -a\ \cdot 1 \\ -1\ &= -a \\ a\ &= 1\ \rightarrow b=1 \\ a+b\ &= 2 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 2$ 13. Soal SPMB 2005 Kode 520 Regional II *Soal Lengkap Jika $fx=sin\ x\ cos\ 3x$, maka $f'\left \frac{1}{6}\pi \right=\cdots$ $\begin{align} A\ & \dfrac{1}{2} \\ B\ & -\dfrac{1}{2} \\ C\ & -1\dfrac{1}{2} \\ D\ & -\dfrac{1}{2}+\sqrt{3} \\ E\ & -1\dfrac{1}{2}+\sqrt{3} \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} fx\ &= sin\ x\ cos\ 3x\\ \hline & u\ = sin\ x \rightarrow u'=cos\ x \\ & v\ = cos\ 3x \rightarrow v'=-3\ sin\ 3x \\ \hline \hline fx\ &= u \cdot v \\ f'x &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ f'x &= cos\ x \cdot cos\ 3x + sin\ x \cdot -3\ sin\ 3x \\ &= cos\ x \cdot cos\ 3x -3 sin\ x \cdot sin\ 3x \\ \hline f'\left \frac{1}{6}\pi \right &= cos\ \left \frac{1}{6}\pi \right \cdot cos\ 3\left \frac{1}{6}\pi \right -3 sin\ \left \frac{1}{6}\pi \right \cdot sin\ 3\left \frac{1}{6}\pi \right \\ &= cos\ 30^{\circ} \cdot cos\ 90^{\circ} -3 sin\ 30^{\circ} \cdot sin\ 90^{\circ} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \cdot 0 -3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 \\ &= 0 - \dfrac{3}{2} \\ &=- \dfrac{3}{2} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ -1\dfrac{1}{2}$ 14. Soal SPMB 2005 Kode 171 Regional III *Soal Lengkap Turunan pertama dari fungsi $y= \left sin\ x\ + cos\ x \right^{2}$ adalah $y'=\cdots$ $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 4\ sin^{2}x \\ C\ & 4\ sin^{2}x-2 \\ D\ & 4\ cos^{2}x-2 \\ E\ & 4\ cos^{2}x-4 \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} fx\ &= \left sin\ x\ + cos\ x \right^{2} \\ &= sin^{2} x\ + cos^{2} x + 2\ sin\ x\ cos\ x \\ &= 1 + 2\ sin\ x\ cos\ x \\ &= 1 + sin\ 2x \\ f'x &= 2\ cos\ 2x \\ &= 2\ \left 2cos^{2}x-1 \right \\ &= 4\ cos^{2}x-2 \end{align}$ Alternatif yang lain dapat juga kita gunakan sifat turunan yaitu $\begin{align} fx\ &= \left sin\ x\ + cos\ x \right^{2} \\ f'x &= 2 \left sin\ x\ + cos\ x \right \left cos\ x\ - sin\ x \right \\ &= 2 \left cos^{2}\ x\ - sin^{2}\ x \right \\ &= 2 \left cos^{2}\ x\ - 1 +cos^{2}\ x \right \\ &= 2 \left 2cos^{2}\ x\ - 1 \right \\ &= 4\ cos^{2}x- 2 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 4\ cos^{2}x-2$ 15. Soal UM UGM 2005 Kode 821 *Soal Lengkap Jika $f\left x \right= \sqrt{1+sin^{2}x},\ 0 \leq x \leq \pi$, maka $f'\left x \right \cdot f\left x \right$ sama dengan... $\begin{align} A\ & \left 1+sin^{2}x \right sin\ x\ cos\ x \\ B\ & \left 1+sin^{2}x \right \\ C\ & sin\ x\ cos\ x \\ D\ & sin\ x \\ E\ & \dfrac{1}{2} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} f\left x \right\ &= \sqrt{1+sin^{2}x} \\ f\left x \right\ &= \left 1+sin^{2}x \right^{\frac{1}{2}} \\ f'\left x \right\ &= \frac{1}{2} \cdot \left 1+sin^{2}x \right^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 \cdot sin\ x \cdot cos\ x \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{1+sin^{2}x}} \cdot sin\ x \cdot cos\ x \\ &= \dfrac{sin\ x \cdot cos\ x}{\sqrt{1+sin^{2}x}} \\ \hline f'\left x \right \cdot f\left x \right &= \sqrt{1+sin^{2}x} \cdot \dfrac{sin\ x \cdot cos\ x}{\sqrt{1+sin^{2}x}} \\ &= sin\ x \cdot cos\ x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ sin\ x\ cos\ x$ 16. Soal UM UGM 2005 Kode 621 *Soal Lengkap Diketahui $f\left x \right= x\ sin\ 3x$, maka $f'\left \frac{\pi}{4} \right$ sama dengan... $\begin{align} A\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left1+ \dfrac{3\pi}{4} \right\\ B\ & \dfrac{\sqrt{2}}{4} \left1+ \dfrac{3\pi}{4} \right\\ C\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left1- \dfrac{3\pi}{4} \right\\ D\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left \dfrac{3\pi}{4}-1 \right\\ E\ & \dfrac{-\sqrt{2}}{2} \left1+ \dfrac{3\pi}{4} \right \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} f\left x \right\ &= x\ sin\ 3x \\ \hline & u\ = x \rightarrow u'=1 \\ & v\ = sin\ 3x \rightarrow v'= 3\ cos\ 3x \\ \hline fx\ &= u \cdot v \\ f'x &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ f'x &= 1 \cdot sin\ 3x + x \cdot 3\ cos\ 3x \\ &= sin\ 3x + 3x \cdot cos\ 3x \\ f'\left \frac{\pi}{4} \right &= sin\ 3\left \frac{\pi}{4} \right + 3\left \frac{\pi}{4} \right \cdot cos\ 3\left \frac{\pi}{4} \right \\ &= sin\ 135^{\circ} + 3\left \frac{\pi}{4} \right \cdot cos\ 135^{\circ} \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 3\left \frac{\pi}{4} \right \cdot \left -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} - 3\left \frac{\pi}{4} \right \cdot \left \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right \\ &= \left \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right \left1 - 3 \cdot \frac{\pi}{4} \right \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left1- \dfrac{3\pi}{4} \right$ 17. Soal UM UGM 2006 Kode 381 *Soal Lengkap Jika $f\left x \right= \dfrac{cos\ x -sin\ x}{cos\ x + sin\ x}$, dengan $cos\ x +sin x \neq 0$ maka $f'\left x \right=\cdots$ $\begin{align} A\ & 1- \left fx \right^{2}\\ B\ & -1+\left fx \right^{2}\\ C\ & - \left1+ \left fx \right^{2} \right \\ D\ & 1 + \left fx \right^{2}\\ E\ & \left fx \right^{2} \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} f\left x \right\ &= \dfrac{cos\ x -sin\ x}{cos\ x + sin\ x} \\ \hline & u\ = cos\ x -sin\ x \rightarrow u'=-sin\ x - cos\ x \\ & v\ = cos\ x + sin\ x \rightarrow v'= -sin\ x + cos\ x \\ \hline fx\ &= \dfrac{u}{v} \\ f'x &= \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ f'x &= \dfrac{\left -sin\ x - cos\ x \right\left cos\ x + sin\ x \right-\left cos\ x -sin\ x \right\left -sin\ x + cos\ x \right}{\left cos\ x + sin\ x \right^{2} } \\ &= \dfrac{-\left sin\ x + cos\ x \right^{2} -\left cos\ x -sin\ x \right^{2}}{\left cos\ x + sin\ x \right^{2} } \\ &= \dfrac{-\left sin\ x + cos\ x \right^{2}}{\left cos\ x + sin\ x \right^{2}} - \dfrac{\left cos\ x -sin\ x \right^{2}}{\left cos\ x + sin\ x \right^{2} }\\ &= -1 - \dfrac{\left cos\ x -sin\ x \right^{2}}{\left cos\ x + sin\ x \right^{2} }\\ &= -1 - \left fx \right^{2} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ - \left1+ \left fx \right^{2} \right$ 18. Soal UMPTN 1994 Rayon B *Soal Lengkap Jika $fx=x\ cos\ x$, maka $f'\leftx + \frac{\pi}{2} \right=\cdots$ $\begin{align} A\ & -sin\ x\ -x\ cos\ x + \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ B\ & -sin\ x\ -x\ cos\ x - \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ C\ & -sin\ x\ + x\ cos\ x - \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ D\ & -sin\ x\ + x\ cos\ x + \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ E\ & -cos\ x\ + x\ sin\ x + \frac{\pi}{2}\ cos\ x \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk kita ingat bahwa $y=sin\ \left\frac{\pi}{2}+x \right=cos\ x$ dan $y=cos\ \left\frac{\pi}{2}+x \right=-sin\ x$. $\begin{align} fx &= x\ cos\ x \\ f\leftx + \frac{\pi}{2} \right &= \leftx + \frac{\pi}{2} \right\ cos\ \leftx + \frac{\pi}{2} \right \\ &= -\leftx + \frac{\pi}{2} \right\ sin\ x \\ \hline & u\ = -\leftx + \frac{\pi}{2} \right \rightarrow u'=-1 \\ & v\ = sin\ x \rightarrow v'= cos\ x \\ \hline fx\ &= u \cdot v \\ f'\leftx \right &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ \hline f' \leftx + \frac{\pi}{2} \right &= -1 \cdot sin\ x -\leftx + \frac{\pi}{2} \right \cdot cos\ x \\ &= -sin\ x -\leftx + \frac{\pi}{2} \right \cdot cos\ x \\ &= -sin\ x - x\ cos\ x - \frac{\pi}{2}\ cos\ x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ -sin\ x\ -x\ cos\ x - \frac{pi}{2}\ cos\ x$ 19. Soal UMPTN 2001 Rayon C *Soal Lengkap Garis $g$ menyinggung kurva $y=sin\ x + cos\ x$ di titik yang berabsis $\dfrac{1}{3}\pi$. Gradien garis yang tegak lurus pada garis $g$ adalah... $\begin{align} A\ & 1-\sqrt{3} \\ B\ & 1+\sqrt{3} \\ C\ & 1 \\ D\ & \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} \\ E\ & \dfrac{1-\sqrt{3}}{2} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk kita ingat bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$. $\begin{align} y &= sin\ x + cos\ x \\ y' &= cos\ x - sin\ x \\ \hline m_{x=\frac{1}{3}\pi} &= cos\ \frac{1}{3}\pi - sin\ \frac{1}{3}\pi \\ &= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$ Gradien garis yang tegak lurus dengan garis singgung $g$ bergradien $m_{g}=\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ adalah $\begin{align} m_{g} \cdot m_{l} &= -1 \\ m_{l} &= \dfrac{-1}{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-2}{1 - \sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-2}{1 - \sqrt{3}} \times \dfrac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-2 \left 1 + \sqrt{3} \right}{1-3} \\ &= 1 + \sqrt{3} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 1+\sqrt{3}$ 20. Soal SNMPTN 2011 Kode 578 *Soal Lengkap Diketahui $f\left x \right=x^{\frac{1}{3}}\ sin\ x$. Persamaan garis singgung di $f$ yang melalui titik asal adalah... $\begin{align} A\ & x=0 \\ B\ & y=0 \\ C\ & y=x \\ D\ & y=-x \\ E\ & \text{tidak ada} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Gradien garis Untuk kita ingat bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$. $\begin{align} f\left x \right &= x^{\frac{1}{3}}\ sin\ x \\ f'\left x \right &=\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ sin\ x + x^{ \frac{1}{3}}\ cos\ x \\ &=\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ sin\ x + x^{ \frac{1}{3}}\ cos\ x \\ \end{align}$ Gradien garis singgung pada kurva yang melalui titik asal adalah $\begin{align} m_{g} &= \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ sin\ x + x^{ \frac{1}{3}}\ cos\ x \\ &= \frac{1}{3} \cdot \left 0 \right^{-\frac{2}{3}}\ sin\ \left 0 \right + \left 0 \right^{ \frac{1}{3}}\ cos\ \left 0 \right \\ &= \frac{1}{3} \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ &= 0 \end{align}$ Garis singgung melaluit titik asal $\left 0,0 \right$ dengan gradien $m=0$ adalah $\begin{align} y-y_{1} &= m \leftx-x_{1} \right \\ y-0 &= 0 \leftx- 0 \right \\ y &= 0 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ y=0$ 21. Soal SNMPTN 2010 KOde 528 *Soal Lengkap Jika garis singgung kurva $y=2x\ cos^{3} x$ di titik $\left \pi, -2\pi \right$ tegak lurus dengan garis $g$, maka persamaan garis $g$ adalah... $\begin{align} A\ & y=2x-3\pi \\ B\ & y=2x+\pi \\ C\ & y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{5}{2}\pi \\ D\ & y=-\dfrac{1}{2}x+3\pi \\ E\ & y=\dfrac{1}{2}x+\pi \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk kita ingat bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$. $\begin{align} y &= 2x\ cos^{3} x \\ y' &= 2 \cdot cos^{3}\ x +2x \cdot 3 \cdot cos^{2}\ x \left -sin\ x \right \\ &= 2 \cdot cos^{3}\ x - 2x \cdot 3 \cdot cos^{2}\ x\ sin\ x \\ \hline m_{x=\pi} &= 2 \cdot cos^{3}\ \pi - 2\pi \cdot 3 \cdot cos^{2}\ \pi\ sin\ \pi \\ &= 2 \cdot -1^{3} - 2\pi \cdot 3 \cdot -1^{2}\ 0 \\ &= 2 \cdot -1 - 0 = -2 \end{align}$ Karena dua garis yang tegak lurus perkalian gradiennya adalah $-1$ sehingga gradien garis yang tegak lurus dengan garis bergradien $m_{g}=-2$ adalah $ m_{l}=\dfrac{1}{2} $ Persamaan garis di titik $\left \pi, -2\pi \right$ yang tegak lurus dengan garis $g$ adalah $\begin{align} y-y_{1} &= m \leftx-x_{1} \right \\ y+2\pi &= \dfrac{1}{2} \leftx- \pi \right \\ y &= \dfrac{1}{2}x- \dfrac{1}{2}\pi -2\pi \\ y &= \dfrac{1}{2}x- \dfrac{5}{2}\pi \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ \dfrac{1}{2}x- \dfrac{5}{2}\pi $ 22. Soal SIMAK UI 2012 Kode 523 *Soal Lengkap Diberikan $fx=sin^{2}x$. Jika $f'x$ menyatakan turunan pertama dari $fx$, maka $\lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left x+\frac{1}{h} \right -f'x\right \}=\cdots$ $\begin{align} A\ & sin\ 2x \\ B\ & -cos\ 2x \\ C\ & 2\ cos\ 2x \\ D\ & 2\ sin\ x \\ E\ & -2\ cos\ x \end{align}$ Alternatif Pembahasan Bentuk limit $\lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left x+\frac{1}{h} \right -f'x\right \}$ pada soal memiliki kemiripan dengan definisi turunan fungsi yaitu $\begin{align} y &= fx \\ f'x &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{fx+p-fx}{p} \\ f''x &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{f'x+p-f'x}{p} \\ f^{3}x &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{f''x+p-f''x}{p} \\ \vdots & \end{align}$ Jika kita misalkan $h=\dfrac{1}{a}$ maka kita peroleh $a=\dfrac{1}{h}$ Lalu untuk $h \rightarrow \infty$ kita peroleh $a \rightarrow 0$ Dari apa yang kita peroleh di atas kita substitusikan pada soal, sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} & \lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left x+\frac{1}{h} \right -f'x\right \} \\ &= \lim\limits_{a \rightarrow 0} \dfrac{1}{a} \left\{ f' \left x+ a \right -f'x\right \} \\ &= \lim\limits_{a \rightarrow 0} \dfrac{ f' \left x+ a \right -f'x}{a} \end{align}$ Dari bentuk di atas dapat kta simpulkan bahwa yang ditanyakan pada soal adalah turunan kedua dari fungsi $fx=sin^{2}x$, yaitu $\begin{align} fx &= sin^{2}x \\ f'x &= 2\ \cdot sin\ x\ cos\ x \\ f''x &= 2\ \cdot cos\ x\ \cdot cos\ x + 2 \cdot sin\ x \cdot \left-sin\ x \right \\ &= 2\ \cdot cos^{2}x - 2 \cdot sin^{2}x \\ &= 2\ \left cos^{2}x - sin^{2}x \right \\ &= 2\ cos\ 2x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 2\ cos\ 2x$ 23. Soal UM UGM 2014 Kode 532 *Soal Lengkap Jika $f\left x \right= \left sin\ x + cos\ x \right\left cos\ 2x + sin\ 2x \right$ dan $f'\left x \right=2\ cos\ 3x +gx$ maka $gx=\cdots$ $\begin{align} A\ & cos\ 3x +sin\ x \\ B\ & cos\ 3x -sin\ x \\ C\ & cos\ x +sin\ x \\ D\ & cos\ x - sin\ x \\ E\ & -cos\ x + sin\ x \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas, kita mungkin memerlukan catatan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut pada perbandingan trigonometri. $\begin{align} f\left x \right &= \left sin\ x + cos\ x \right\left cos\ 2x + sin\ 2x \right\\ &= sin\ x\ cos\ 2x + sin\ x\ sin\ 2x + cos\ x\ cos\ 2x + cos\ x\ sin\ 2x\\ &= sin\ x\ cos\ 2x + cos\ x\ sin\ 2x + sin\ x\ sin\ 2x + cos\ x\ cos\ 2x \\ &= sin \left 2x+x \right + cos \left2x-x \right \\ &= sin \left 3x \right + cos \left x \right \\ f'\left x \right\ &= 3\ cos \left 3x \right - sin \left x \right \\ &= 2\ cos \left 3x \right + cos \left 3x \right - sin \left x \right \\ \hline f'\left x \right\ &= 2\ cos \left 3x \right + g \left x \right \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ cos\ 3x -sin\ x$ 24. Soal SBMPTN 2014 Kode 589/586 *Soal Lengkap Jika $f\left x \right= 2x + sin\ 2x$ untuk $-\dfrac{\pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4} $, maka $f'x=\cdots$ $\begin{align} A\ & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left tan\ x \right ^{i} \\ B\ & 4\ \left 1-cos^{2}x \right \\ C\ & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -1 \right ^{i} \left tan\ x \right ^{2i} \\ D\ & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -sin\ x \right ^{2i} \\ E\ & 4\ cos\ 2x \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} f\left x \right &= 2x + sin\ 2x \\ f '\left x \right &= 2 + 2\ cos\ 2x \\ &= 2 \left1 + cos\ 2x \right \\ &= 2 \left1 + 2cos^{2}x-1 \right \\ &= 4cos^{2}x \end{align}$ Sampai pada langkah di atas kita belum mendapatkan jawaban seperti apa yang diinginkan pembuat soal. Kita coba mengeksplorasi beberapa pilihan yang ada. Untuk pilihan $B$ dan $E$ sudah tidak mungkin lagi menjadi jawaban, sehingga yang perlu kita eksplorasi adalah pilihan $A$, $C$, atau $D$. Disini yang kita pilih untuk di eksplorasi adalah pilihan $C\ 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -1 \right ^{i} \left tan\ x \right ^{2i}$ $\begin{align} & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -1 \right ^{i} \left tan\ x \right ^{2i} \\ & =4 \left [ \left -1 \right ^{0} \left tan\ x \right ^{20}+\left -1 \right ^{1} \left tan\ x \right ^{21} + \left -1 \right ^{2} \left tan\ x \right ^{22} +\cdots \right]\\ & =4 \left[ \left 1 \right \left tan\ x \right ^{0}+\left -1 \right \left tan\ x \right ^{2 }+1 \left tan\ x \right ^{4} +\left -1 \right \left tan\ x \right ^{6} +\cdots \right] \\ & = 4 \left[ 1 + \left -1 \right \left tan\ x \right ^{2 }+\left 1 \right \left tan\ x \right ^{4} +\left -1 \right \left tan\ x \right ^{6} +\cdots \right] \\ \hline & a=1\ \text{dan}\ r=-tan^{2}x \\ & S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r} \\ \hline & = 4 \left[ \dfrac{1}{1+ tan^{2}x} \right] \\ & = 4 \left[ \dfrac{1}{sec^{2}x} \right] \\ & = 4 \left[ cos^{2}x \right] \\ \end{align}$ Dari hasil eksplorasi di atas kita peroleh $4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -1 \right ^{i} \left tan\ x \right ^{2i} = 4 \left[ cos^{2}x \right]$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -1 \right ^{i} \left tan\ x \right ^{2i}$ 25. Soal SBMPTN 2015 Kode 534 *Soal Lengkap Fungsi $f\left x \right= -\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}$ untuk $- \pi \lt x \lt 2\pi$, turun pada interval... $\begin{align} A\ & 0 \lt x \lt \dfrac{5\pi}{12} \\ B\ & 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{12} \\ C\ & \dfrac{\pi}{6} \lt x \lt \dfrac{\pi}{3} \\ D\ & \dfrac{5\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{7\pi}{12} \\ E\ & -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Sedikit catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{fx}$ maka $y'=\dfrac{f'x}{2\sqrt{fx}}$. $\begin{align} f\left x \right &= -\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi} \\ f '\left x \right &= -\dfrac{-2\ cos\ x\ sin\ x + \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{2\ cos\ x\ sin\ x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \end{align}$ Agar $f\left x \right$ turun maka $f'\left x \right \lt 0$, sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} f '\left x \right & \lt 0 \\ \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} & \lt 0 \\ \end{align}$ Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu $\begin{align} f '\left x \right & = 0 \\ \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} & = 0 \\ sin\ 2x - \frac{1}{2} & = 0 \\ sin\ 2x & = \frac{1}{2} \\ sin\ 2x & =sin\ \frac{ \pi}{6} \\ \hline 2x & =\frac{ \pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{ \pi}{12} + k \cdot \pi \\ x & =-\frac{11\pi}{12},\frac{ \pi}{12},\frac{13\pi}{12} \\ \hline 2x & =\pi-\frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ 2x & = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & = \frac{5\pi}{12} + k \cdot \pi \\ x & =-\frac{7\pi}{12},\frac{5\pi}{12},\frac{17\pi}{12} \end{align}$ Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan daerah atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left x \right \lt 0$ Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $A,B,C,D,E$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $E\ -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya. Kita uji nilai $x$ dari $-\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$ yaitu $x=0$ $\begin{align} f '\left x \right &= \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{sin\ 20 - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}0+\frac{0}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{- \frac{1}{2}}{2+\pi} \lt 0 \\ & \text{terbukti}\ f '\left x \right \lt 0 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$ 26. Soal SBMPTN 2015 Kode 541 *Soal Lengkap Fungsi $f\left x \right= \sqrt{cos^{2}2x+x}$ untuk $ x \gt 0$, naik pada interval... $\begin{align} A\ & \dfrac{4\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{12} \\ B\ & \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24} \\ C\ & \dfrac{7\pi}{6} \lt x \lt \dfrac{11\pi}{6} \\ D\ & \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{11\pi}{24} \\ E\ & \dfrac{5\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{11\pi}{12} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Sedikit catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{fx}$ maka $y'=\dfrac{f'x}{2\sqrt{fx}}$. $\begin{align} f\left x \right &= \sqrt{cos^{2}2x+x} \\ f '\left x \right &= \dfrac{-2\ cos\ 2x\ \cdot 2 \cdot sin\ 2x + 1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-4\ cos\ 2x\ sin\ 2x + 1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \end{align}$ Agar $f\left x \right$ naik maka $f'\left x \right \gt 0$, sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} f '\left x \right & \gt 0 \\ \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} & \gt 0 \\ \end{align}$ Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu $\begin{align} f '\left x \right & = 0 \\ \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} & = 0 \\ -2 sin\ 4x +1 & = 0 \\ 2sin\ 4x & = 1 \\ sin\ 4x & = \dfrac{ 1}{2} \\ sin\ 4x & = sin\ \frac{ \pi}{6} \\ \hline 4x & =\frac{ \pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{ \pi}{24} + k \cdot \frac{ \pi}{2}\\ x & =\frac{\pi}{24},\ \frac{13 \pi}{12},\ \frac{25\pi}{24},\cdots \\ \hline 4x & =\pi-\frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ 4x & = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & = \frac{5\pi}{24} + k \cdot \frac{ \pi}{2} \\ x & = \frac{5\pi}{24},\ \frac{17\pi}{24},\ \frac{29\pi}{24},\cdots \end{align}$ Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan daerah atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left x \right \gt 0$ Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $A,B,C,D,E$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $B\ \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya. Kita uji nilai $x$ dari $\dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$ yaitu $x=\dfrac{12\pi}{24}=90$ $\begin{align} f '\left x \right &= \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-2 sin\ 490 +1}{2\sqrt{1+90}} \\ &= \dfrac{0+1}{2\sqrt{1+90}} \\ &= \dfrac{1}{2\sqrt{1+90}} \gt 0 \\ & \text{terbukti}\ f '\left x \right \gt 0 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$ 26. Soal SBMPTN 2015 Kode 510 *Soal Lengkap Fungsi $f\left x \right= \sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}$ untuk $ -\pi \leq x \leq \pi$, turun pada interval... $\begin{align} A\ & 0 \leq x \leq \dfrac{ \pi}{ 2} \\ B\ & 0 \lt x \lt \pi \\ C\ & -\dfrac{ \pi}{ 3} \leq x \leq 0 \\ D\ & -\dfrac{ \pi}{ 3} \leq x \leq \dfrac{\pi}{3} \\ E\ & -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Sedikit catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{fx}$ maka $y'=\dfrac{f'x}{2\sqrt{fx}}$. $\begin{align} f\left x \right &= \sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x} \\ f '\left x \right &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} \end{align}$ Agar $f\left x \right$ turun maka $f'\left x \right \lt 0$, sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} f '\left x \right & \lt 0 \\ \dfrac{\frac{x}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} & \lt 0 \\ \end{align}$ Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu $\begin{align} f '\left x \right & = 0 \\ \dfrac{\frac{x}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} & = 0 \\ \frac{x}{\sqrt{2}}- cos\ x & = 0 \\ cos\ x & = \frac{x}{\sqrt{2}} \\ cos\ x & = cos\ \frac{ \pi}{4} \\ \hline x & =\frac{ \pi}{4} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{\pi}{4} \\ \hline x & =-\frac{ \pi}{4} + k \cdot 2\pi \\ x & =-\frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4} \\ \end{align}$ Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan daerah atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left x \right \gt 0$ Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $A,B,C,D,E$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $E\ -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya. Kita uji nilai $x$ dari $-\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ yaitu $x=0$ $\begin{align} f '\left x \right &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} \\ &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- cos\ 0}{2\sqrt{2+\frac{0}{\sqrt{2}}-sin\ 0}} \\ &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- 1}{2\sqrt{2+0-0}} \gt 0 \\ & \text{terbukti}\ f '\left x \right \lt 0 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ 27. Soal UMPTN 1996 Rayon A *Soal LengkapPersamaan garis yang tegak lurus garis singgung kurva $y=tan\ x$ di titik $\left \frac{\pi}{4},1 \right$ adalah... $\begin{align} A\ & y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}+1 \\ B\ & y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}-1 \\ C\ & y=-\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{8}-1 \\ D\ & y=-\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}-1 \\ E\ & y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}+1 \end{align}$ Alternatif PembahasanGradien garis singgung kurva $y=tan\ x$ di titik $\left \frac{\pi}{4},1 \right$ adalah $\begin{align} y & = tan\ x \\ m=y' & = sec^{2} x \\ & = \dfrac{1}{cos^{2}\ x} \\ & = \dfrac{1}{cos^{2} \left \frac{\pi}{4} \right} \\ & = \dfrac{1}{\left \frac{1}{2} \sqrt{2} \right^{2}} \\ & = \dfrac{1}{\left \frac{1}{4} \cdot 2 \right} = 2 \end{align}$ Dua garis saling tegak lurus maka perkalian kedua gradien garis adalah $-1$ atau $m_{1} \cdot m_{2}=-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis singgung kurva gradiennya adalah $m=-\dfrac{1}{2}$. Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis singgung kurva di titik $\left \frac{\pi}{4},1 \right$ dan $m=-\dfrac{1}{2}$ adalah $\begin{align} y-y_{1} & = m \left x-x_{1} \right \\ y-1 & = -\dfrac{1}{2} \left x-\frac{\pi}{4} \right \\ y-1 & = -\dfrac{1}{2}x +\dfrac{\pi}{8} \\ y & = -\dfrac{1}{2}x +\dfrac{\pi}{8}+1 \end{align}$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}+1$ 28. Soal SIMAK UI 2010 Kode 205 *Soal Lengkap Jika diketahui $fx= \left tan x \right$, maka laju perubahan $fx$ pada saat $x=k$, dimana $\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$ akan sama dengan... $\begin{align} A\ & -sin\ k \\ B\ & cos\ k \\ C\ & -sec^{2}\ k \\ D\ & sec^{2}\ k \\ E\ & cot\ k \end{align}$ Alternatif Pembahasan Berdasarkan definisi nilai mutlak fungsi $fx= \left tan x \right$ dapat kita tuliskan, $ \left tan x \right = \left\{\begin{array}{cc} tan x,\ \text{untuk}\ tan x \geq 0 \\ -tan x,\ \text{untuk}\ tan x \lt 0 \end{array} \right.$ Untuk $k=x$ dan $\dfrac{\pi}{2} \lt k \lt \pi$ maka $x$ berada di kuadran II diperoleh $tan x$ bernilai negatif sehingga $fx=- tan\ x$. Laju perubahan $fx$ terhadap $x$ dapat kita tuliskan $\dfrac{dfx}{dx}=-sec^{2}x$, dan laju perubahan $fx$ pada saat $x=k$ adalah $\dfrac{dfk}{dx}=-sec^{2}k$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ -sec^{2}\ k$ 29. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 *Soal Lengkap $y= sin\left sin\left sin\left sin\left \cdots\left sin\left sin\ x \right \right \right \cdots \right \right \right $ Tentukan $\dfrac{dy}{dx}$ pada $x=0$. $\begin{align} A\ & - \infty \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & \infty \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas kita lakukan dengan beberapa eksplorasi dengan fungsi yang sederhana. Untuk $y=sinx$ $\begin{align} f'x=\dfrac{dy}{dx}\ & =cosx \\ f'0\ & =cos0 \\ = 1 \end{align}$ Untuk $y=sin\left sin\ x \right $ $\begin{align} f'x=\dfrac{dy}{dx}\ & =cos\left sin\ x \right \cdot cosx \\ f'0\ & =cos\left sin\ 0 \right \cdot cos0 \\ & =cos\left 0 \right \cdot 1 \\ & =1 \end{align}$ Untuk $y=sin\left sin \left sin\ x \right \right $ $\begin{align} f'x=\dfrac{dy}{dx}\ & =cos \left sin \left sin\ x \right \right \cdot cos \left sin\ x \right \cdot cosx \\ f'0\ & =cos \left sin \left sin\ 0 \right \right \cdot cos \left sin\ 0 \right \cdot cos0 \\ & =cos \left sin \left 0 \right \right \cdot cos \left 0 \right \cdot 1 \\ & =cos \left 0 \right \cdot 1 \cdot 1 \\ & =1 \cdot 1 \cdot 1 \\ & =1 \end{align}$ Jika kita lakukan eksplorasi pada langkah berikutnya hasilnya juga adalah $1$ dan ini menjawab untuk fungsi $y= sin\left sin\left sin\left sin\left \cdots\left sin\left sin\ x \right \right \right \cdots \right \right \right $ hasilnya adalah $1$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 1$ 30. Soal UMPTN 1991 *Soal Lengkap Nilai maksimum dari $fx= 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x$ untuk $0 \lt x \lt \pi$, adalah... $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & 3 \\ C\ & 4 \\ D\ & -6 \\ E\ & -12 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba selesaikan dengan uji turunan pertama $f'x= 0$ $\begin{align} fx & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f'x & = -4\ sin\ 2x + 4\ cos\ x \end{align}$ Untuk $f'x=0$, kita peroleh $\begin{align} -4\ sin\ 2x + 4\ cos\ x & = 0 \\ -4\ 2\ sin\ x\ cos\ x + 4\ cos\ x & = 0 \\ -4\ cos\ x \left2\ sin\ x - 1 \right & = 0 \\ -4\ cos\ x= 0\ \text{atau}\ 2\ sin\ x - 1 & = 0 \\ cos\ x= 0\ \text{atau}\ sin\ x & = \frac{1}{2} \\ \end{align}$ Untuk $0 \lt x \lt \pi$ kita peroleh Saat $cos\ x= 0$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=90^{\circ}$ $\begin{align} fx & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f \left 90^{\circ} \right & = 2\ cos\ 2\left 90^{\circ} \right + 4\ sin\ \left 90^{\circ} \right \\ & = 2\ cos\ 180^{\circ} + 4 sin\ 90^{\circ} \\ & = 2\ \left -1 \right + 4 \left 1 \right = 2 \end{align}$ Saat $sin\ x = \dfrac{1}{2}$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=30^{\circ}, 150^{\circ}$ $\begin{align} fx & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f \left 30^{\circ} \right & = 2\ cos\ 2\left 30^{\circ} \right + 4\ sin\ \left 30^{\circ} \right \\ & = 2\ cos\ 60^{\circ} + 4 sin\ 30^{\circ} \\ & = 2\ \left \frac{1}{2} \right + 4 \left \frac{1}{2} \right = 3 \end{align}$ $\begin{align} fx & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f \left 150^{\circ} \right & = 2\ cos\ 2\left 150^{\circ} \right + 4\ sin\ \left 150^{\circ} \right \\ & = 2\ cos\ 300^{\circ} + 4\ sin\ 150^{\circ} \\ & = 2\ \left \frac{1}{2} \right + 4\ \left \frac{1}{2} \right = 3 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 3$ 31. Soal UMPTN 1992 *Soal Lengkap Diketahui $fx= \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x}$. Garis singgung grafiknya pada $x=\dfrac{\pi}{2}$ memotong sumbu $y$ di titik $\left 0,b \right$, nilai $b$ yang memenuhi adalah... $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & \dfrac{\pi}{2} \\ C\ & -2+\dfrac{\pi}{2} \\ D\ & 2-\dfrac{\pi}{2} \\ E\ & 2+\dfrac{\pi}{2} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba selesaikan dengan uji turunan pertama, dimana kita ketahui bahwa gradien garis singgung $m=f'x$. $\begin{align} fx & = \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline u = 2+cos\ x & \rightarrow u'=-sin\ x \\ v = sin\ x & \rightarrow u'=cos\ x \\ \hline f'x & = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{\left -sin\ x \right\left sin\ x \right-\left 2+cos\ x \right\left cos\ x \right}{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ -sin^{2} x -2cos\ x - cos^{2} x }{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ - \leftsin^{2} x 2cos\ x + cos^{2} x \right }{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ -\left1 +2cos\ x \right}{sin^{2} x} \end{align}$ Gradien garis singgung $m=f'x$ saat $x=\dfrac{\pi}{2}$ adalah $\begin{align} m & = \dfrac{ -\left1 +2cos\ x \right}{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ -\left1 +2cos\ \frac{\pi}{2} \right}{sin^{2} \frac{\pi}{2}} \\ & = \dfrac{ -\left1 +2 \cdot 0 \right}{1^{2}} = -1 \end{align}$ Untuk $x=\dfrac{\pi}{2}$, kita peroleh $y=fx$, yaitu $\begin{align} y & = \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ & = \dfrac{2+cos\ \frac{\pi}{2}}{sin\ \frac{\pi}{2}} \\ & = \dfrac{2+ 0}{1} 2 \end{align}$ Persamaan garis singgung yang melelui titik $\left \frac{\pi}{2}, 2 \right$ dan gradien $m=-1$ adalah $\begin{align} y-y_{1} & = m \left x -x_{1} \right \\ y-2 & = -1 \left x - \frac{\pi}{2} \right \\ y-2 & = -x + \frac{\pi}{2} \\ y & = -x + \frac{\pi}{2} +2 \end{align}$ Memotong sumbu $y$ adalah pada saat $x=0$, yaitu $\left 0, \frac{\pi}{2} +2 \right$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ \frac{\pi}{2} +2 $ Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras Beberapa pembahasan soal Turunan Fungsi Trigonometri di atas adalah coretan kreatif siswa pada lembar jawaban penilaian harian matematika, lembar jawaban penilaian akhir semester matematika, presentasi hasil diskusi matematika atau pembahasan quiz matematika di kelas. Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait 30+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Turunan Fungsi Trigonometri silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊. Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊 ContohSoal & Pembahasan. Berikut ini adalah contoh soal dan pembahasan dari turunan aljabar dan trigonometri. Yuk, kita simak bersama! 1. Contoh Soal Turunan Fungsi Aljabar. 1.) Tentukan turunan pertama dari fungsi aljabar berikut: f(x) = 2x 3. Jawaban: f' (x) = 3 . 2x 3-1 . f' (x) = 6x 2. 2.)
Bahas Soal Matematika » Turunan › Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri Matematika SMA Oleh Tju Ji Long Statistisi Hub. WA 0812-5632-4552 Pada artikel ini kita akan membahas beberapa contoh soal turunan fungsi trigonometri matematika SMA. Pada dasarnya, menyelesaikan soal turunan fungsi trigonometri mirip dengan cara menyelesaikan turunan fungsi aljabar yakni kita dapat menggunakan rumus-rumus turunan seperti turunan perkalian, pembagian, dan turunan fungsi komposisi dengan aturan rantai. Hanya saja, karena di sini fungsi yang akan dicari turunannya adalah fungsi trigonometri maka kita perlu pahami dulu turunan dari fungsi trigonometri dasar berikut ini Perhatikan bahwa kita menggunakan notasi \ f’x \ untuk menyatakan turunan seperti diberikan di atas. Sebenarnya masih ada beberapa cara lain untuk menyatakan turunan, yakni \[ y' \quad \frac{dy}{dx} \quad \text{dan} \quad Dx \] Sebelum masuk ke contoh soal dan pembahasan dari turunan fungsi trigonometri, sebaiknya kita sudah menguasai beberapa rumus turunan berikut ini agar dapat mengerjakan soal turunan trigonometri dengan lancar. Untuk lebih jelasnya, kita langsung masuk ke contoh soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri berikut ini. Contoh 1 Jika \ fx=-\cos^2 x - \sin^2 x \, maka \ f’x \ adalah… Pembahasan » Untuk mengerjakan soal ini kita bisa meminjam sifat dari identitas trigonometri berikut \begin{aligned} \sin 2x &= 2 \sin x \cos x \\[8pt] \cos 2x &= \cos^2 x - \sin^2 x \end{aligned} Dengan demikian, Contoh 2 Jika \ y = 3x^4 + \sin 2x + \cos 3x \, maka \ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \cdots \ Pembahasan » Contoh 3 Jika \ y = 2 \sin 3x – 3 \cos 2x \, maka \ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \cdots \ Pembahasan » Contoh 4 Jika \ \displaystyle fx = \frac{ \sin x + \cos x }{ \sin x }, \sin x \neq 0 \ dan \ f’x \ adalah turunan \ fx\, maka \ \displaystyle f’ \left \frac{\pi}{2} \right = \cdots \ Pembahasan » Misalkan \ u = \sin x + \cos x \ dan \ v = \sin x \ sehingga \ fx = u/v \. Ingat bahwa rumus turunan untuk pembagian yaitu Kita cari turunan dari \u\ dan \v\ terlebih dahulu, yakni Dengan demikian, Contoh 5 Jika \ \displaystyle fx = a \tan x + bx, \ f’ \left \frac{\pi}{4} \right = 3 \ dan \ \displaystyle f’ \left \frac{\pi}{3} \right = 9 \, maka \ a + b = \cdots \ Pembahasan » Ingat bahwa turunan dari \ \tan x \ adalah \ \sec^2 x \ sehingga Selanjutnya, dengan menyelesaikan SPLDV persamaan 1 dan 2 di atas dengan cara substitusi atau eliminasi, kita peroleh nilai \a = 3\ dan \b = -3\ sehingga \a + b = 0\. Contoh 6 Turunan pertama dari \ y = \cos^4 x \ adalah… Pembahasan » Untuk menyelesaikan soal turunan ini kita bisa gunakan aturan rantai. Misalkan \ u = \cos x \ sehingga kita dapatkan hasil berikut Dengan demikian, turunan pertama dari \ y = \cos^4 x \ dengan cara aturan rantai, yakni Contoh 7 Jika \ fx = \sin \sin^2 x \, maka \ f’x = \cdots \ Pembahasan » Untuk mencari turunan pertama dari fungsi pada soal di atas, kita bisa gunakan aturan rantai. Misalkan \ u = \sin x \ sehingga Misalkan lagi \ v = u^2 \ sehingga Dengan demikian, turunan pertama dari \ fx = \sin \sin^2 x \ berdasarkan aturan rantai, yaitu Contoh 8 Misalkan \ fx = 2 \tan \sqrt{\sec x} \, maka \ f’x = \cdots \ Pembahasan » Kita dapat gunakan aturan rantai untuk menyelesaikan soal ini. Misalkan \ u = \sec x \ sehingga Misalkan lagi \ v = \sqrt{u} \ sehingga Dengan demikian, turunan pertama dari \ fx = \sin \sin^2 x \ berdasarkan aturan rantai, yaitu Contoh 9 Turunan pertama dari fungsi \ \displaystyle fx = \frac{1+\cos x}{\sin x} \ adalah \ f’x = \cdots \ Pembahasan » Misalkan \ u = 1 + \cos x \ dan \ v = \sin x \ sehingga \ fx = u/v \. Ingat bahwa rumus turunan untuk pembagian yaitu Kita cari turunan dari \u\ dan \v\ terlebih dahulu, yakni Dengan demikian, Contoh 10 Jika fungsi \ fx = \sin ax + \cos bx \ memenuhi \ f’0 = b \ dan \ \displaystyle f’ \left \frac{\pi}{2a} \right = -1 \, maka \a + b = \cdots \ Pembahasan » Karena \ b = a \ dan \a = 1\, maka \b\ juga bernilai 1 sehingga \ a + b = 1 + 1 = 2 \. Contoh 11 Jika \ fx = \sin x \cos 3x \, maka \ \displaystyle f’ \left \frac{1}{6} \pi \right = \cdots \ Pembahasan » Misalkan \ u = \sin x \ dan \ v = \cos 3x \ sehingga \ fx = u \cdot v \. Ingat bahwa rumus turunan dari perkalian dua fungsi yaitu Selanjutnya, kita cari turunan dari u dan v terlebih dahulu, yakni Dengan demikian, Contoh 12 Turunan pertama dari fungsi \ y = \sin x + \cos x^2 \ adalah… Pembahasan » Untuk mencari turunan dari fungsi dalam soal ini ada dua cara yang bisa digunakan. Cara yang pertama yaitu dengan menyederhanakan fungsinya terlebih dahulu lalu mencari turunannya. Perhatikan berikut ini Cara kedua yaitu langsung menggunakan sifat dari turunan. Contoh 13 Jika \ fx = \sqrt{1+\sin^2 x} \ di mana \ 0 \leq x \leq \pi \, maka \ f’x \cdot fx \ sama dengan… Pembahasan » Contoh 14 Diketahui \ fx = x \sin 3x \, maka \ f’ \left \frac{\pi}{4} \right \ sama dengan… Pembahasan » Misalkan \ u = x \ dan \ v = \sin 3x \, maka \ fx = u \cdot v \. Ingat bahwa rumus turunan dari perkalian dua fungsi, yaitu Selanjutnya, kita cari turunan dari \u\ dan \v\ terlebih dahulu, yakni Dengan demikian, turunan dari \ fx = x \sin 3x \, yakni Contoh 15 Jika \ \displaystyle fx = \frac{ \cos x - \sin x }{ \cos x + \sin x } \, dengan \ \cos x + \sin x \neq 0 \, maka \ f’x = \cdots \ Pembahasan » Misalkan \ u = \cos x - \sin x \ dan \ v = \cos x + \sin x \ sehingga \ fx = u/v \. Ingat bahwa rumus turunan dari pembagian dua fungsi, yaitu Kita cari turunan dari \u\ dan \v\ terlebih dahulu, yakni Dengan demikian, Contoh 16 Jika \ fx = x \cos x \, maka \ \displaystyle f’ \leftx + \frac{\pi}{2} \right = \cdots \ Pembahasan » Ingat bahwa Sekarang kita akan menyelesaikan turunan dari fungsi di atas menggunakan rumus turunan untuk perkalian dua fungsi. Misalkan \ u = - \left x + \frac{\pi}{2} \right\ dan \ v = \sin x \ sehingga Dengan demikian, Contoh 17 Jika \ fx = \sin x + \cos x\cos 2x + \sin 2x \ dan \ f’x = 2 \cos 3x + gx \, maka \ gx = \cdots \ Pembahasan » Untuk menyelesaikan soal ini kita mungkin memerlukan catatan rumus jumlah dan selisih dua sudut pada perbandingan trigonometri. Jadi, \ gx = \cos 3x - \sin x \. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan jika ada yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih. Our greatest weakness lies in giving up. The most certain way to succeed is always to try just one more time.Soaldan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri. Rumus-rumus yang hendak dipakai dalam penyelesaian turunan fungsi trigonometri yaitu selaku berikut: 1. Jika Rangkuman Materi Turunan Kelas XI/11Turunan PertamaTurunan Fungsi TrigonometriPersamaan Garis SinggungFungsi Naik TurunStasionerTurunan KeduaContoh Soal & Pembahasan Turunan Kelas XI/11Rangkuman Materi Turunan Kelas XI/11Turunan PertamaTurunan pertama dari suatu fungsi fx adalah Jika fx = xn, maka f ’x = nxn-1, dengan n ∈ R Jika fx = axn, maka f ’x = anxn-1, dengan a konstan dan n ∈ R Rumus turunan fungsi aljabar Jika y = c maka y’= 0 Jika y = u + v, maka y’ = u’ + v’ Jika y = u – v, maka y’ = u’ – v’ Jika y = k u, maka y’ = k u’ Jika y = u v, maka y’ = u’v + uv’ Jika y = , maka y’ = Jika y = un, maka y’ = n un-1 Jika y = fu, maka y’ = f ’u.u’ Jika y = g o hx = ghx, maka y’ = g’hx.h’x Jika y = In x, maka y ’= Turunan Fungsi TrigonometriJika y = sin x, maka y’= cos xJika y = cos x, maka y’ = -sin xJika y = tan x, maka y’= sec2xJika y = cot x , maka y’= -cosec2xJika y = sec x , maka y’ = sec x tan xJika y = cosec x , maka y’ =-cosec x cot xPersamaan Garis SinggungJika kurva y = fx, maka gradien garis singgung kurva tersebut di x = a adalah Persamaan garis singgung dari kurva y = fx melalui x1, y1 adalah y – y1 = mx – x1 atau y – y1 = f x1 x – x1Fungsi Naik TurunFungsi dikatakan naik jika f’ x > 0 Fungsi dikatakan turun jika f’ x 0titik belok horizontal, jika f “x = 0Turunan KeduaTurunan kedua dari suatu fungsi y = fx adalah turunan dari turunan pertama dan diberi lambangContoh Soal & Pembahasan Turunan Kelas XI/11Soal SBMPTN 2014 Diketahui f0=1 dan f’0=2. Jika gx = , maka g’0=…-12-66812PEMBAHASAN gx= =2fx – 1-3 g'x=-32fx – 1-4.2f x = -6f x2f0- 1-4 g’ 0=-6f’ 02f0 – 1-4 = -6221 – 1-4 = -12 Jawaban ASoal UN 2007Turunan pertama dari f x = adalah f ’x =…PEMBAHASAN Jawaban ESoal SNMPTN 2011 IPADiketahui Pernyataan berikut semua benar, kecuali…f0 = 1f’-1 tidak adaf turun pada x > 0fx diskontinu di titik x =-1fx kontinu di titik x=5PEMBAHASAN Jawaban ASoal UN 2008Turunan pertama dari y = adalah y’ =…PEMBAHASAN Jawaban BSoal SNMPTN 2012Grafik fungsi fx= ax3 – x2 + cx + 12 naik jika…b2 – 4ac 0 dan a ˂ 0b2 – 3ac 0 3ax2 – 2bx + c > 0 Agar fungsi bernilai positif koefisien x2 > 0 3a > 0 a > 0D 1x 3PEMBAHASAN Jika fx = x3 – 3x2 – 9x – 7 maka f x = 3x2 + 6x -9 Fungsi akan turun jika f x 4– 2 2x > – 2 atau x 0 x2 – 2x – 8 > 0 x – 4x + 2 > 0 x 4 Maka kurva naik pada interval sebagai berikut x 4 Jawaban A
Setelahitu baru aku akan kasih contoh soal turunan fungsi trigonometri sekaligus dengan pembahasannya. Diketahui y = \sin^ {3} (2x^ {5} - 7x), tentukanlah turunan pertamanya! Jawab: Turunan pertama itu y' atau \frac {dy} {dx} Misalkan u = 2x^ {5} - 7x maka \frac {du} {dx} = 10x^ {4} -7 Misalkan v = \sin u maka \frac {dv} {du} = \cos uContoh Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri Tersulit Halo gaes, kembali lagi dengan latihan soal ala omahjenius. Pada kesempatan kali ini saya berkesempatan untuk share contoh soal turunan fungsi trigonometri. Menurut saya pribadi ini merupakan salah satu contoh soal mengerikan, ada beberapa hal yang bisa menyebabkan Soal Turunan Fungsi Trigonometri itu mengerikan, untuk itu semangat belajarnya, karena semua akan kena libas pada Fungsi Trigonometri Pada dasarnya rumus trigonometri sumbernya pada rumus berikut ini 1. Jika fx = sin x maka f'x = cos x2. Jika fx = cos x maka f'x = -sin x3. Jika fx = tan x maka f'x = sec²xSoal dan Pembahasan Turunan Fungsi TrigonometriSoal 1Turunan pertama fungsi y = cos 2x³ - x² ialah.....A. y' = -6x² - 2x sin 2x³ - x²B. y' = -sin 2x³ - x²C. y' = 6x² - 2x cos 2x³ - x²D. y' = 6x² - 2x sin 2x³ - x²E. y' = sin 2x³ - x²Pembahasan y = cos 2x³ - x²Misalkanux = 2x³ - x² maka u'x = 6x² - 2xy = cos uxy' = -sin ux . u'xy' = -sin 2x³ - x² . 6x² - 2xy' = -6x² - 2x.sin2x³ - x²JAWABAN ASoal 2Jika y = x² sin 3x, maka dy/dx = .....A. 2x sin 3x + 2x² cos xB. 3x cos 3x + 2x² sin xC. 2x sin x + 3x² cos xD. 2x sin 3x + 3x² cos 3xE. 2x² cos x + 3x sin 3xPembahasany = x² sin 3xMisalkanux = x² maka u'x = 2xvx = sin 3x maka v'x = 3 cos 3xy = ux . vxy' = u'x.vx + ux.v'x = 2x . sin 3x + x². 3 cos 3x = 2x sin 3x + 3x²cos 3xJAWABAN DSoal 3Diketahui fungsi Fx = sin²2x + 3 dan turunan pertama dari F adalah F'. Maka F'x =.....A. -2 sin 2x + 3 cos 2x + 3B. 4 sin 2x + 3 cos 2x + 3C. 2 sin 2x + 3 cos 2x + 3D. -4 sin 2x + 3 cos 2x + 3E. sin 2x + 3 cos 2x + 3PembahasanFx = sin²2x + 3Misalkanux = sin 2x + 3, makau'x = cos 2x + 3 . 2 = 2cos 2x + 32 berasal dari turunan 2x + 3Fx = [ux]²F'x = 2[ux]¹ . u'x = 2sin 2x + 3 . 2cos 2x + 3 = 4sin 2x + 3 cos 2x + 3JAWABAN BSoal 4Diketahui fx = sin³ 3 - 2x. Turunan pertama fungsi f adalah f' maka f'x = .....A. 6 sin² 3 - 2x cos 3 - 2xB. -3 sin 3 - 2x sin 6 - 4xC. -2 sin² 3 - 2x cos 3 - 2xD. -6 sin 3 - 2x cos 6 - 4xE. 3 sin² 3 - 2x cos 3 - 2xPembahasanfx = sin³ 3 - 2xMisalkanux = sin 3 - 2x, makau'x = cos 3 - 2x . -2u'x = -2cos 3 - 2x-2 berasal dari turunan 3-2xfx = [ux]³f'x = 3[ux]² . u'xf'x = 3sin²3 - 2x . -2cos 3 - 2x = -6 sin²3 - 2x . cos 3 - 2x = -3 . 2 sin 3 -2x.sin 3 -2x.cos 3 - 2x = -3 . sin 3 - 2x. 2 sin 3 - 2x.cos 3 - 2xingat sin 2x = 2 sin x = -3 sin 3 - 2x sin 23 - 2x = -3 sin 3 - 2x sin 6 - 4xJAWABAN BSoal 5Turunan pertama dari Fx = sin³ 5 - 4x adalah F'x = .....A. 12 sin² 5 - 4x cos 5 - 4xB. -6 sin 5 - 4x sin 10 - 8xC. -3 sin² 5 - 4x cos 5 - 4xD. 6 sin 5 - 4x sin 10 - 8xE. -12 sin² 5 - 4x cos 10 - 8xPembahasanFx = sin³ 5 - 4xMisalkanux = sin 5 - 4x, makau'x = cos 5 - 4x . -4u'x = -4cos 5 - 4x-4 berasal dari turunan 5 - 4xfx = [ux]³f'x = 3[ux]² . u'xf'x = 3sin²5 - 4x . -4cos 5 - 4x = -12 sin²5 - 4x . cos 5 - 4x = -6 . 2 sin 5 - 4x.sin 5 - 4x.cos 5 - 4x = -6 . sin 5 - 4x. 2 sin 5 - 4x.cos 5 - 4xingat sin 2x = 2 sin x = -6 sin 5 - 4x sin 25 - 4x = -6 sin 5 - 4x sin 10 - 8xJAWABAN ASoal 6Jika fx = sinx+cosxsinx, sin x ≠ 0 dan f' adalah turunan f, maka f'π2 = .....A. -2B. 1C. 0D. -1E. 2Pembahasanfx = sinx+cosxsinxMisalkan* ux = sin x + cos x , maka u'x = cos x - sin x* vx = sin x, maka v'x = cos xfx = uxvxf'x = u′x.vx−ux.v′x[vx]2 = cosx−sinx.sinx−sinx+cosx.cosx[sinx]2f'π2 = cosπ2−sinπ2.sinπ2−sinπ2+cosπ2.cosπ2[sinπ2]2f'π2 = 0−1.1−1+0.012f'π2 = −1−01f'π2 = -1JAWABAN DSoal 7Turunan fungsi y = tan x adalah.....A. cotan xB. cos² xC. sec² x + 1D. cotan² x + 1E. tan²x + 1Pembahasany = tan xy = sinxcosxMisalkanux = sin x, maka u'x = cos xvx = cos x, maka v'x = -sin xy = uxvxy = u′x.vx−ux.v′x[vx]2 = = cos2x+sin2xcos2x = sin2x+cos2xcos2x = sin2xcos2x + cos2xcos2x = sinxcosx2 + 1 = tan²x + 1JAWABAN ESoal 8Jika fx = a tan x + bx dan f'π4 = 3, f'π3 = 9, maka a + b = .....A. 2B. 1C. π2D. 0E. πPembahasanfx = a tan x + bxf'x = a . 1cos2x + bf'π4 = a . 1cos2π4 + b 3 = a . 1√2/22 + b 3 = 2a + b ............1f'π3 = a . 1cos2π3 + b 9 = a . 1½2 + b 9 = 4a + b..............2Eliminasi persamaan 1 dan 2 diperoleh2a + b = 34a + b = 9 - -2a = -6 a = -6/-2 a = 3Subtitusi nilai a = 3 ke persamaan 1, diperoleh23 + b = 36 + b = 3 b = 3 - 6 b = -3Jadi, a + b = 3 + -3 = 0JAWABAN DSoal 9Jika r = sinθ−−−−√, maka dr/dθ = .....A. 12sinθ√B. cosθ2sinθC. cosθ2sinθ√D. −sinθ2cosθE. 2cosθsinθ√PembahasanMisalkanu = sin θ, maka u' = cos θr = sinθ−−−−√r = u−−√r = u½r' = 12√u . u'r' = 12sinθ√ . cos θr' = cosθ2sinθ√JAWABAN CSoal 10Jika fx = -cos² x - sin²x, maka f'x adalah.....A. 4sin x cos xB. 2cos x - sin xC. sin x. cos xD. 2sin x cos xE. 2sin x - cos xPembahasan fx = -cos² x - sin²xfx = -1 - sin²x - sin²xfx = -1 - 2sin²xfx = 2sin²x - 1Misalkanux = sin x, maka u'x = cos xfx = 2[ux]² - 1f'x = 4 . ux¹. u'x - 0f'x = 4 sin x cos xJAWABAN AItu saja contoh soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri. Mudah mudahan dengan latihan soal yang kami berikan dapat memudahkan kalian untuk mengerjakan soal soal yang diberikan kpada guru kalian. SEMANGAATTT. Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri Tersulit Oleh zedukasi Omah JeniusBlog Berbagi Seputar Info SBMPTN, Mata Pelajaran dan Soal Biologi, Matematika, Fisika, Kimia, dan Lain Lain. Dari Jenjang SMP, SMA, Kuliah. .
soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri
